Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear , dado por sua matriz em relação a base canônica , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma matriz que representa um operador linear . O objetivo é descobrir se esse operador é diagonalizável. Se for, também vamos encontrar uma base formada por autovetores e a forma diagonal correspondente.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vou explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números A - lambda I = -2 - lambda & -1 & 2 -3 & -lambda & 2 -8 & -4 & 7 - lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde é a matriz dada e é a matriz identidade.
Vamos montar essa equação:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot det -lambda & 2 -4 & 7 - lambda + 1 cdot det -3 & 2 -8 & 7 - lambda + 2 cdot det -3 & -lambda -8 & -4 :
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica para determinar os autovalores. Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que se 1^3 - 5(1)^2 + 7(1) - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0 é uma raiz, então lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 3) divide o termo constante e lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm raiz42 = 4 pm 22 divide o coeficiente líder.
No nosso caso, os candidatos são lambda = 4 + 22 = 3 e lambda = 4 - 22 = 1 .
Vamos testar :
Bingo! é um autovalor.
Então, podemos fatorar da equação cúbica:
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, precisamos que a soma das multiplicidades geométricas (número de autovetores linearmente independentes) seja igual ao tamanho da matriz, ou seja, 3.
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - I = -3 & -1 & 2 -3 & -1 & 2 -8 & -4 & 6 :
Simplificando as linhas, podemos notar que a terceira linha é múltiplo das outras:
Vamos resolver a primeira equação para :
Deixando e , temos:
Mas precisamos de relação entre s e t para que o sistema seja compatível. Substituindo na segunda equação:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar denominadores:
Então, expressamos o vetor solução em termos de :
Portanto, temos um autovetor para :
Passo 6
Agora, verificamos que para temos dois autovetores linearmente independentes ( e ) e para temos um autovetor (). Isso totaliza três autovetores diferentes, que formam uma base para .
Como conseguimos encontrar três autovetores linearmente independentes, cada um associado a um autovalor, a matriz é diagonalizável.
Passo 7
Por fim, vamos montar a matriz diagonal D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 e a matriz P = -13 & 23 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 3 cuja coluna é formada pelos autovetores encontrados.
A matriz diagonal P^-1AP = D terá os autovalores na diagonal principal:
A matriz será formada pelos autovetores :
Portanto, temos que:
Resposta
A matriz dada é diagonalizável. Uma base de autovetores é formada por: