Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n, dado por sua matriz [T]C em relação a base canônica C, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal.
[ccc-2 & -1 & 2 -3 & 0 & 2 -8 & -4 & 7], K=R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma matriz que representa um operador linear . O objetivo é descobrir se esse operador é diagonalizável. Se for, também vamos encontrar uma base formada por autovetores e a forma diagonal correspondente.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números A - lambda I = -2 - lambda & -1 & 2 -3 & -lambda & 2 -8 & -4 & 7 - lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde é a matriz dada e é a matriz identidade.
Vamos montar essa equação:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot det -lambda & 2 -4 & 7 - lambda + 1 cdot det -3 & 2 -8 & 7 - lambda + 2 cdot det -3 & -lambda -8 & -4 :
det -lambda & 2 -4 & 7 - lambda = (-lambda)(7 - lambda) - (2)(-4) = -7lambda + lambda^2 + 8
Calculando cada determinante menor:
det -3 & 2 -8 & 7 - lambda = (-3)(7 - lambda) - (2)(-8) = -21 + 3lambda + 16 = 3lambda - 5
det -3 & -lambda -8 & -4 = (-3)(-4) - (-lambda)(-8) = 12 - 8lambda
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(lambda^2 - 7lambda + 8) + 1(3lambda - 5) + 2(12 - 8lambda)
Substituindo de volta:
= (-2 - lambda)(lambda^2 - 7lambda + 8) + 3lambda - 5 + 24 - 16lambda
Simplificando:
= (-2)(lambda^2 - 7lambda + 8) - lambda(lambda^2 - 7lambda + 8) + 3lambda - 5 + 24 - 16lambda
= -2lambda^2 + 14lambda - 16 - lambda^3 + 7lambda^2 - 8lambda + 3lambda - 5 + 24 - 16lambda
- lambda^3 + ( -2lambda^2 + 7lambda^2 ) + (14lambda - 8lambda + 3lambda - 16lambda ) + (-16 - 5 + 24)
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
- lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3
-lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3 = 0
Então, a equação característica é:
lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica para determinar os autovalores. Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que se 1^3 - 5(1)^2 + 7(1) - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0 é uma raiz, então lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 3) divide o termo constante e lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm raiz42 = 4 pm 22 divide o coeficiente líder.
No nosso caso, os candidatos são lambda = 4 + 22 = 3 e lambda = 4 - 22 = 1 .
Vamos testar :
Bingo! é um autovalor.
Então, podemos fatorar da equação cúbica:
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, precisamos que a soma das multiplicidades geométricas (número de autovetores linearmente independentes) seja igual ao tamanho da matriz, ou seja, 3.
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - I = -3 & -1 & 2 -3 & -1 & 2 -8 & -4 & 6 :
Resolvemos -3x1 - x2 + 2x3 = 0 -8x1 - 4x2 + 6x3 = 0 :
-3x1 = x2 - 2x3 implies x1 = -x2 + 2x33
Simplificando as linhas, percebemos que a segunda linha é igual à primeira, então podemos reduzir:
x1 = -s + 2t3, x2 = s, x3 = t
Vamos resolver a primeira equação para x = s -13 1 0 + t 23 0 1 :
v1 = -13 1 0 , v2 = 23 0 1
Vamos deixar A - 3I = -5 & -1 & 2 -3 & -3 & 2 -8 & -4 & 4 e -5x1 - x2 + 2x3 = 0 -3x1 - 3x2 + 2x3 = 0 , parâmetros livres.
Então:
-5x1 = x2 - 2x3 implies x1 = -x2 + 2x35
Podemos escrever o vetor solução como:
x = -s + 2t5 1 0 0 + s 0 1 0 + t 0 0 1
Portanto, temos dois autovetores lineares independentes para -3(-s + 2t5) - 3s + 2t = 0 :
3s - 6t - 15s + 10t = 0 implies -12s + 4t = 0 implies -3s + t = 0 implies t = 3s
Para x = s -1 + 65 1 3 = s 1 1 3 :
Resolvemos v3 = 1 1 3 :
Simplificando as linhas, podemos notar que a terceira linha é múltiplo das outras:
Vamos resolver a primeira equação para :
Deixando e , temos:
Mas precisamos de relação entre s e t para que o sistema seja compatível. Substituindo na segunda equação:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar denominadores:
Então, expressamos o vetor solução em termos de :
Portanto, temos um autovetor para :

Passo 6

Agora, verificamos que para temos dois autovetores linearmente independentes ( e ) e para temos um autovetor ( ). Isso totaliza três autovetores diferentes, que formam uma base para .
Como conseguimos encontrar três autovetores linearmente independentes, cada um associado a um autovalor, a matriz é diagonalizável.

Passo 7

Por fim, vamos montar a matriz diagonal D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 e a matriz P = -13 & 23 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 3 cuja coluna é formada pelos autovetores encontrados.
A matriz diagonal P^-1AP = D terá os autovalores na diagonal principal:
A matriz será formada pelos autovetores :
Portanto, temos que:

Resposta

A matriz dada é diagonalizável. Uma base de autovetores é formada por:
v1 = -13 1 0 , v2 = 23 0 1 , v3 = 1 1 3
A forma diagonal correspondente é:
D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

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