Sejam V=F(R, R), f1, f2, f3 in V dados por f1(x)=e^2 x sen x, f2(x)=e^2 x cos x, f3(x)=e^2 x, e W=[f1, f2, f3]. Considere D: W W o operador linear definido por D(f)=f^prime.
Determine [D]B.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial f1(x) = e^2x sin x, f2(x) = e^2x cos x, f3(x) = e^2x , que é o conjunto de todas as funções de reais para reais. Dada uma base com as funções:
Temos um operador linear definido pela derivada, ou seja, . Nosso objetivo é determinar a matriz do operador relativa à base , denotada por .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador linear em termos da base dada. Isso envolve calcular as derivadas das funções da base e expressá-las como combinações lineares das próprias funções da base.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções da base:
  1. Derivada de f1'(x) = e^2x (2 sin x + cos x) :
Usando a regra do produto:
f2'(x) = e^2x (2 cos x - sin x)
  1. Derivada de f3'(x) = 2 e^2x = 2 f3(x) :
Novamente, usando a regra do produto:
  1. Derivada de :
Simplesmente:
Agora, precisamos expressar cada derivada como uma combinação linear das funções da base , e .

Passo 3

Vamos reescrever as derivadas em termos das funções da base:
  1. Para 2 sin x = 2 f1(x) / e^2x e cos x = f2(x) / e^2x :
Observe que:
f1'(x) = 2 f1(x) + f2(x)
Portanto:
2 cos x = 2 f2(x) / e^2x e -sin x = -f1(x) / e^2x
  1. Para f2'(x) = -f1(x) + 2 f2(x) :
Analogamente:
f3'(x) = 2 f3(x)
Então:
  1. Para :
Já vimos que:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz [D]B = Coef de f1'(x) em f1(x) & Coef de f1'(x) em f2(x) & Coef de f1'(x) em f3(x) Coef de f2'(x) em f1(x) & Coef de f2'(x) em f2(x) & Coef de f2'(x) em f3(x) Coef de f3'(x) em f1(x) & Coef de f3'(x) em f2(x) & Coef de f3'(x) em f3(x) usando os coeficientes das combinações lineares encontradas:
[D]B = 2 & 1 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Substituindo os coeficientes:

Resposta

A matriz do operador [D]B = 2 & 1 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 2 relativa à base é:

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