Sejam dados por , e . Considere o operador linear definido por .
Determine .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções de reais para reais. Dada uma base com as funções:
Temos um operador linear definido pela derivada, ou seja, . Nosso objetivo é determinar a matriz do operador relativa à base , denotada por .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador linear em termos da base dada. Isso envolve calcular as derivadas das funções da base e expressá-las como combinações lineares das próprias funções da base.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções da base:
Derivada de :
Usando a regra do produto:
Derivada de :
Novamente, usando a regra do produto:
Derivada de :
Simplesmente:
Agora, precisamos expressar cada derivada como uma combinação linear das funções da base , e .
Passo 3
Vamos reescrever as derivadas em termos das funções da base:
Para :
Observe que:
Portanto:
Para :
Analogamente:
Então:
Para :
Já vimos que:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz usando os coeficientes das combinações lineares encontradas:
Substituindo os coeficientes:
Resposta
A matriz do operador [D]B = 2 & 1 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 2 relativa à base é: