Seja
um operador linear inversível. Mostre que:
e
possuem os mesmos autovetores.
Passo 1
Vamos resolver um problema de álgebra linear onde temos um operador linear invertível
. O que precisamos mostrar é que
e seu inverso
possuem os mesmos autovetores. Para isso, vamos usar conceitos de operadores lineares, inversíveis e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um autovetor de um operador linear
é um vetor não nulo
tal que
, onde
é o autovalor correspondente. Isso significa que
apenas escala
por
.
Passo 3
Como
é invertível, sabemos que existe um operador inverso
tal que
para todo vetor
em
. Também sabemos que se
, então
.
Passo 4
Vamos assumir que
é um autovetor de
com autovalor
. Então, aplicando
em ambos os lados da equação
, temos:
Que simplifica para:
Dividindo ambos os lados por
(que não é zero, já que
é invertível):
Isso mostra que
também é um autovetor de
, com autovalor
.
Passo 5
Assim, demonstramos que qualquer autovetor
de
é também um autovetor de
, e vice-versa. Portanto,
e
compartilham os mesmos autovetores.
Resposta
Os operadores lineares
e
possuem os mesmos autovetores.