Seja T: V V um operador linear inversível. Mostre que:
T e T^-1 possuem os mesmos autovetores.

Passo 1

Vamos resolver um problema de álgebra linear onde temos um operador linear invertível . O que precisamos mostrar é que e seu inverso possuem os mesmos autovetores. Para isso, vamos usar conceitos de operadores lineares, inversíveis e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um autovetor de um operador linear é um vetor não nulo tal que , onde é o autovalor correspondente. Isso significa que apenas escala por .

Passo 3

Como é invertível, sabemos que existe um operador inverso tal que para todo vetor em . Também sabemos que se , então .

Passo 4

Vamos assumir que T^-1(T(v)) = T^-1(lambda v) é um autovetor de v = lambda T^-1(v) com autovalor T^-1(v) = 1lambda v . Então, aplicando em ambos os lados da equação , temos:
Que simplifica para:
Dividindo ambos os lados por (que não é zero, já que é invertível):
Isso mostra que também é um autovetor de , com autovalor .

Passo 5

Assim, demonstramos que qualquer autovetor de é também um autovetor de , e vice-versa. Portanto, e compartilham os mesmos autovetores.

Resposta

Os operadores lineares e possuem os mesmos autovetores.

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