Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n, dado por sua matriz [T]C em relação a base canônica C, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal.
[ccc-9 & 4 & 4 -8 & 3 & 4 -16 & 8 & 7], K=R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso desafio é descobrir se a matriz dada é diagonalizável. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz. Se conseguirmos encontrar uma base de autovetores que tenham dimensões suficientes, a matriz será diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(T - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
T - lambda I = -9 - lambda & 4 & 4 -8 & 3 - lambda & 4 -16 & 8 & 7 - lambda
Aqui, representa os autovalores, e é a matriz identidade. Vamos montar :

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (-9 - lambda)[(3 - lambda)(7 - lambda) - (4)(8)] - 4[-8(7 - lambda) - (4)(-16)] + 4[-8(8) - (3 - lambda)(-16)]
Vamos simplificar passo a passo:
Primeiro, calculemos a parte dentro do primeiro colchete:
(3 - lambda)(7 - lambda) - 32 = (21 - 10lambda + lambda^2) - 32 = lambda^2 - 10lambda - 11
No segundo termo:
-8(7 - lambda) - 4(-16) = -56 + 8lambda + 64 = 8lambda + 8
E no terceiro termo:
-8(8) - (3 - lambda)(-16) = -64 + 16(3 - lambda) = -64 + 48 - 16lambda = -16lambda - 16
Substituindo de volta:
det(T - lambda I) = (-9 - lambda)(lambda^2 - 10lambda - 11) - 4(8lambda + 8) + 4(-16lambda - 16)
Simplificando mais:
= (-9 - lambda)(lambda^2 - 10lambda - 11) - 32lambda - 32 - 64lambda - 64
= (-9 - lambda)(lambda^2 - 10lambda - 11) - 96lambda - 96
Agora, multiplicamos:
= -9lambda^2 + 90lambda + 99 - lambda^3 + 10lambda^2 + 11lambda - 96lambda - 96
Agrupando os termos semelhantes:
- lambda^3 + (-9lambda^2 + 10lambda^2) + (90lambda + 11lambda - 96lambda) + (99 - 96)
Então, a equação característica é:
= -lambda^3 + lambda^2 + 5lambda + 3
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
-lambda^3 + lambda^2 + 5lambda + 3 = 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - lambda^2 - 5lambda - 3 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes racionais possíveis usando o teorema das raízes racionais, que diz que possíveis raízes são fatores do termo constante divididos pelos fatores do termo de maior grau. Aqui, os fatores de 3 são ±1, ±3.
Testando 1 - 1 - 5 - 3 = -8 neq 0 :
-1 - 1 + 5 - 3 = 0
Testando lambda^3 - lambda^2 - 5lambda - 3 = (lambda + 1)(lambda^2 - 2lambda - 3) :
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
Funcionou! Então, lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação usando lambda = 2 + 42 = 3 e lambda = 2 - 42 = -1 :
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os autovalores são (multiplicidade 2) e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, precisamos verificar se cada um tem uma quantidade suficiente de autovetores para formar uma base. Isso garante que a matriz seja diagonalizável.
Para T - 3I = -12 & 4 & 4 -8 & 0 & 4 -16 & 8 & 4 :
Resolvemos 3 & -1 & -1 -8 & 0 & 4 -16 & 8 & 4 :
v1 = 1 2 2
Simplificando as linhas:
Podemos dividir a primeira linha por -4:
T + I = -8 & 4 & 4 -8 & 4 & 4 -16 & 8 & 8
Agora, vamos resolver o sistema linear correspondente. Após resolver, encontramos que um autovetor associado a v2 = 1 2 1 , v3 = 0 1 2 é:
Para :
Resolvemos :
Observamos que todas as linhas são múltiplos umas das outras, então temos uma dimensão de espaço nulo igual a 2. Isso significa que podemos encontrar dois autovetores linearmente independentes para :

Passo 6

Agora que temos três autovetores linearmente independentes:
v1 = 1 2 2 , v2 = 1 2 1 , v3 = 0 1 2
Podemos formar a base de autovetores para . Como temos uma base completa de autovetores, a matriz é diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz v1 = 1 2 2 , v2 = 1 2 1 , v3 = 0 1 2 é diagonalizável. Uma base de autovetores é formada por:
D = 3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
A forma diagonal de é:

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