Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear , dado por sua matriz em relação a base canônica , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso desafio é descobrir se a matriz dada é diagonalizável. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz. Se conseguirmos encontrar uma base de autovetores que tenham dimensões suficientes, a matriz será diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(T - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
-lambda^3 + lambda^2 + 5lambda + 3 = 0
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - lambda^2 - 5lambda - 3 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes racionais possíveis usando o teorema das raízes racionais, que diz que possíveis raízes são fatores do termo constante divididos pelos fatores do termo de maior grau. Aqui, os fatores de 3 são ±1, ±3.
Portanto, os autovalores são (multiplicidade 2) e .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, precisamos verificar se cada um tem uma quantidade suficiente de autovetores para formar uma base. Isso garante que a matriz seja diagonalizável.
Agora, vamos resolver o sistema linear correspondente. Após resolver, encontramos que um autovetor associado a v2 = 1 2 1 , v3 = 0 1 2 é:
Para :
Resolvemos :
Observamos que todas as linhas são múltiplos umas das outras, então temos uma dimensão de espaço nulo igual a 2. Isso significa que podemos encontrar dois autovetores linearmente independentes para :
Passo 6
Agora que temos três autovetores linearmente independentes:
v1 = 1 2 2 , v2 = 1 2 1 , v3 = 0 1 2
Podemos formar a base de autovetores para . Como temos uma base completa de autovetores, a matriz é diagonalizável.
Resposta
Sim, a matriz v1 = 1 2 2 , v2 = 1 2 1 , v3 = 0 1 2 é diagonalizável. Uma base de autovetores é formada por: