onde B=12 x^2,-12, 12 x e C=x^2, x, 1. Mostre que T é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador linear B = 12 x^2, -12, 12 x que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, C = x^2, x, 1 . A matriz desse operador está dada em relação às bases e , que são:
Nosso objetivo é mostrar que é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser diagonalizável e como achar autovalores e autovetores da matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como uma matriz diagonal em alguma base, ou seja, se existe uma base de vetores próprios (autovetores) para a matriz. Isso facilita muito na hora de trabalhar com ela, porque matrizes diagonais são mais fáceis de manipular.
Passo 3
Para verificar se [T]BC= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz e ver se temos um conjunto completo de autovetores. A matriz é:
Vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade.
Os autovalores são . Para a matriz ser diagonalizável sobre os números reais, precisamos que todos os autovalores sejam reais. Porém, temos autovalores complexos e . Isso indica que a matriz não é diagonalizável sobre , mas seria sobre .
Passo 6
Contudo, a questão não especifica o campo sobre o qual estamos trabalhando, mas como estamos em , concluímos que não é diagonalizável nesse campo porque não possui uma base completa de autovetores reais.
Resposta
O operador não é diagonalizável sobre os números reais.