Seja T: P2(R) P2(R) um operador linear tal que
[T]B C=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 ]
onde B=12 x^2,-12, 12 x e C=x^2, x, 1. Mostre que T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador linear B = 12 x^2, -12, 12 x que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, C = x^2, x, 1 . A matriz desse operador está dada em relação às bases e , que são:
Nosso objetivo é mostrar que é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser diagonalizável e como achar autovalores e autovetores da matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como uma matriz diagonal em alguma base, ou seja, se existe uma base de vetores próprios (autovetores) para a matriz. Isso facilita muito na hora de trabalhar com ela, porque matrizes diagonais são mais fáceis de manipular.

Passo 3

Para verificar se [T]BC= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz e ver se temos um conjunto completo de autovetores. A matriz é:
Vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando o determinante:
det( 1-lambda & 0 & 0 0 & -lambda & 1 0 & -1 & -lambda ) = (1-lambda) cdot det( -lambda & 1 -1 & -lambda )
= (1-lambda) cdot [(-lambda)(-lambda) - (1)(-1)] = (1-lambda)(lambda^2 + 1)
Então, as soluções são e , .

Passo 5

Os autovalores são . Para a matriz ser diagonalizável sobre os números reais, precisamos que todos os autovalores sejam reais. Porém, temos autovalores complexos e . Isso indica que a matriz não é diagonalizável sobre , mas seria sobre .

Passo 6

Contudo, a questão não especifica o campo sobre o qual estamos trabalhando, mas como estamos em , concluímos que não é diagonalizável nesse campo porque não possui uma base completa de autovetores reais.

Resposta

O operador não é diagonalizável sobre os números reais.

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