Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n, dado por sua matriz [T]C em relação a base canônica C, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal.
[ccc6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3], K=R, C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3 , representado pela matriz
é diagonalizável sobre os campos e . Se for diagonalizável, precisamos encontrar uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e o critério de diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
det([T]C - lambda I) = 0
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz 6 - lambda & -3 & -2 4 & -1 - lambda & -2 10 & -5 & -3 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det([T]C - lambda I) = (6 - lambda)[(-1 - lambda)(-3 - lambda) - (-2)(-5)] - (-3)[4(-3 - lambda) - (-2)(10)] + (-2)[4(-5) - (-1 - lambda)(10)]
Vamos simplificar passo a passo.

Passo 5

Primeiro termo:
(6 - lambda)[ ( (-1 - lambda)(-3 - lambda) ) - ( (-2)(-5) ) ] = (6 - lambda)[ (lambda^2 + 4lambda + 3) - 10 ] = (6 - lambda)(lambda^2 + 4lambda - 7)
Segundo termo:
- (-3)[ 4(-3 - lambda) - (-2)(10) ] = 3[ -12 - 4lambda + 20 ] = 3(8 - 4lambda) = 24 - 12lambda
Terceiro termo:
-2[ 4(-5) - (-1 - lambda)(10) ] = -2[ -20 + 10 + 10lambda ] = -2(-10 + 10lambda) = 20 - 20lambda

Passo 6

Agora, somando todos os termos:
(6 - lambda)(lambda^2 + 4lambda - 7) + 24 - 12lambda + 20 - 20lambda
Primeiro, expandimos 6lambda^2 + 24lambda - 42 - lambda^3 - 4lambda^2 + 7lambda = -lambda^3 + 2lambda^2 + 31lambda - 42 :
-lambda^3 + 2lambda^2 + 31lambda - 42 + 24 - 12lambda + 20 - 20lambda = -lambda^3 + 2lambda^2 - 1lambda + 2
Agora, somando os demais termos:
-lambda^3 + 2lambda^2 - lambda + 2 = 0
Então, o polinômio característico é:
lambda^3 - 2lambda^2 + lambda - 2 = 0
Podemos multiplicar por -1 para simplificar:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, os autovalores 1 - 2 + 1 - 2 = -2 neq 0 . Vamos tentar fatores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são 8 - 8 + 2 - 2 = 0 .
Testando lambda^3 - 2lambda^2 + lambda - 2 = (lambda - 2)(lambda^2 + 0lambda + 1) = (lambda - 2)(lambda^2 + 1) :
lambda = 2, lambda = i, lambda = -i
Testando :
Bingo! é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio:
As raízes são:
Onde é a unidade imaginária.

Passo 8

Agora, vamos analisar a diagonalização sobre e :
  • Sobre : Temos um autovalor real ( ) e dois autovalores complexos conjugados ( e ). Como os autovalores complexos não estão em , a matriz não é diagonalizável sobre .
  • Sobre : Todos os autovalores ( ) estão no campo dos números complexos, e são distintos. Portanto, a matriz é diagonalizável sobre .

Passo 9

Vamos encontrar uma base de autovetores para 4 & -3 & -2 4 & -3 & -2 10 & -5 & -5 v = 0 . Primeiro, para 6 - i & -3 & -2 4 & -1 - i & -2 10 & -5 & -3 - i v = 0 :
Resolvendo 6 + i & -3 & -2 4 & -1 + i & -2 10 & -5 & -3 + i v = 0 :
Reduzindo as equações, temos que e são livres. Então, podemos escolher e , resultando em . Um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo :
Resolvendo, encontramos um autovetor .

Passo 10

Agora, juntando os autovetores, temos a base de autovetores:
( 32, 2, 0 ), ( 3 + i2, 1, 1 ), ( 3 - i2, 1, 1 )
E a matriz diagonal correspondente é:
2 & 0 & 0 0 & i & 0 0 & 0 & -i

Resposta

O operador linear ( 32, 2, 0 ), ( 3 + i2, 1, 1 ), ( 3 - i2, 1, 1 ) não é diagonalizável sobre 2 & 0 & 0 0 & i & 0 0 & 0 & -i . Entretanto, sobre ele é diagonalizável. Uma base de autovetores em é
e a matriz diagonal correspondente é
.

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