Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear , dado por sua matriz em relação a base canônica , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3 , representado pela matriz
é diagonalizável sobre os campos e . Se for diagonalizável, precisamos encontrar uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e o critério de diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
det([T]C - lambda I) = 0
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Bingo! é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio:
As raízes são:
Onde é a unidade imaginária.
Passo 8
Agora, vamos analisar a diagonalização sobre e :
Sobre : Temos um autovalor real () e dois autovalores complexos conjugados ( e ). Como os autovalores complexos não estão em , a matriz não é diagonalizável sobre .
Sobre : Todos os autovalores () estão no campo dos números complexos, e são distintos. Portanto, a matriz é diagonalizável sobre .
Passo 9
Vamos encontrar uma base de autovetores para 4 & -3 & -2 4 & -3 & -2 10 & -5 & -5 v = 0 . Primeiro, para 6 - i & -3 & -2 4 & -1 - i & -2 10 & -5 & -3 - i v = 0 :
Resolvendo 6 + i & -3 & -2 4 & -1 + i & -2 10 & -5 & -3 + i v = 0 :
Reduzindo as equações, temos que e são livres. Então, podemos escolher e , resultando em . Um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Passo 10
Agora, juntando os autovetores, temos a base de autovetores:
( 32, 2, 0 ), ( 3 + i2, 1, 1 ), ( 3 - i2, 1, 1 )
E a matriz diagonal correspondente é:
2 & 0 & 0 0 & i & 0 0 & 0 & -i
Resposta
O operador linear ( 32, 2, 0 ), ( 3 + i2, 1, 1 ), ( 3 - i2, 1, 1 ) não é diagonalizável sobre 2 & 0 & 0 0 & i & 0 0 & 0 & -i . Entretanto, sobre ele é diagonalizável. Uma base de autovetores em é