Sejam V=F(R, R), f1, f2, f3 in V dados por f1(x)=e^2 x sen x, f2(x)=e^2 x cos x, f3(x)=e^2 x, e W=[f1, f2, f3]. Considere D: W W o operador linear definido por D(f)=f^prime.
Determine os autovalores e autovetores de D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear chamado , que basicamente pega uma função e retorna sua derivada. Estamos trabalhando no espaço , que é gerado pelas funções , , e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e ver como elas se combinam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de cada função base. Lembra como derivar funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas? Vamos usar a regra do produto:
f1'(x) &= ddx ( e^2x sin x ) = 2e^2x sin x + e^2x cos x, f2'(x) &= ddx ( e^2x cos x ) = 2e^2x cos x - e^2x sin x, f3'(x) &= ddx ( e^2x ) = 2e^2x

Passo 3

Agora, vamos expressar essas derivadas como combinações lineares das funções f1'(x) &= 2e^2x sin x + e^2x cos x = 2f1(x) + f2(x), f2'(x) &= 2e^2x cos x - e^2x sin x = 2f2(x) - f1(x), f3'(x) &= 2e^2x = 2f3(x) , e . Observando as derivadas que calculamos:

Passo 4

Com essas combinações, podemos montar a matriz que representa o operador [ D ] = 2 & -1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 2 na base . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas de em termos da base:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos o polinômio característico:
det ( [ D ] - lambda I ) = 0,
onde det 2 - lambda & -1 & 0 1 & 2 - lambda & 0 0 & 0 & 2 - lambda = (2 - lambda)^2 ( 2 - lambda ) - (-1)(1)(2 - lambda) = 0 é a matriz identidade e lambda = 2 pm i e lambda = 2 os autovalores. Calculando:
Resolvendo isso, encontramos que os autovalores são:

Passo 6

Com os autovalores encontrados, vamos agora achar os autovetores correspondentes. Cada autovetor é uma combinação das funções , e que satisfaz .
Para e , os autovetores serão combinações de e , já que o terceiro componente está associado a . Já para , o autovetor é simplesmente .

Resposta

Os autovalores de v1 = f1 + i f2 são v2 = f1 - i f2 , v3 = f3 e .
Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Ou seja, os autovalores são 2 + i, 2 – i e 2, e os autovetores correspondentes são , e , respectivamente.

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