Sejam dados por , e . Considere o operador linear definido por .
Determine os autovalores e autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear chamado , que basicamente pega uma função e retorna sua derivada. Estamos trabalhando no espaço , que é gerado pelas funções , , e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e ver como elas se combinam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de cada função base. Lembra como derivar funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas? Vamos usar a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos expressar essas derivadas como combinações lineares das funções , e . Observando as derivadas que calculamos:
Passo 4
Com essas combinações, podemos montar a matriz que representa o operador na base . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas de em termos da base:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos o polinômio característico:
det ( [ D ] - lambda I ) = 0,
onde det 2 - lambda & -1 & 0 1 & 2 - lambda & 0 0 & 0 & 2 - lambda = (2 - lambda)^2 ( 2 - lambda ) - (-1)(1)(2 - lambda) = 0 é a matriz identidade e lambda = 2 pm i e lambda = 2 os autovalores. Calculando:
Resolvendo isso, encontramos que os autovalores são:
Passo 6
Com os autovalores encontrados, vamos agora achar os autovetores correspondentes. Cada autovetor é uma combinação das funções , e que satisfaz .
Para e , os autovetores serão combinações de e , já que o terceiro componente está associado a . Já para , o autovetor é simplesmente .
Resposta
Os autovalores de v1 = f1 + i f2 são v2 = f1 - i f2 , v3 = f3 e .
Os autovetores correspondentes são:
Para :
Para :
Para :
Ou seja, os autovalores são 2 + i, 2 – i e 2, e os autovetores correspondentes são , e , respectivamente.