Seja
a transformação linear definida por
para todo
. Determine todos os autovalores e autovetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear
que atua no espaço dos polinômios de grau até 4,
. A transformação é definida por
, onde
é a derivada do polinômio
. Nosso objetivo aqui é encontrar todos os autovalores e autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, como encontrar a representação matricial de
e resolver o problema de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor
de uma transformação linear
é um escalar tal que existe um vetor não nulo
(o autovetor) satisfazendo
. No caso, estamos trabalhando com polinômios, então nosso “vetor” é um polinômio
.
Passo 3
Para encontrar os autovalores e autovetores, precisamos determinar para quais
e
a equação
é satisfeita. Substituindo a definição de
, temos:
Isso é uma equação diferencial que precisamos resolver para
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral pode ser encontrada usando o método de separação de variáveis.
Passo 5
Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo resulta em
e a do lado direito em
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como estamos trabalhando com polinômios de grau até 4,
deve ser um número tal que
seja um polinômio, ou seja,
deve ser um inteiro não negativo.
Passo 7
Portanto, os possíveis valores de
são 0, 1, 2, 3 e 4. Para cada
, o autovetor correspondente é
.
Resposta
Os autovalores de
são
e os respectivos autovetores são os polinômios
,
,
,
e
.