Seja T: P4(R) P4(R) a transformação linear definida por (T(p))(x)=x p^prime(x) para todo x in R. Determine todos os autovalores e autovetores de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 4, . A transformação é definida por , onde é a derivada do polinômio . Nosso objetivo aqui é encontrar todos os autovalores e autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, como encontrar a representação matricial de e resolver o problema de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor de uma transformação linear é um escalar tal que existe um vetor não nulo (o autovetor) satisfazendo . No caso, estamos trabalhando com polinômios, então nosso “vetor” é um polinômio .

Passo 3

Para encontrar os autovalores e autovetores, precisamos determinar para quais x p^prime(x) = lambda p(x) e a equação é satisfeita. Substituindo a definição de , temos:
Isso é uma equação diferencial que precisamos resolver para .

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
p^prime(x) = lambdax p(x)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral pode ser encontrada usando o método de separação de variáveis.

Passo 5

Separando as variáveis, temos:
p^prime(x)p(x) = lambdax
Integrando ambos os lados:
integral p^prime(x)p(x) dx = integral lambdax dx
A integral do lado esquerdo resulta em e a do lado direito em , onde é a constante de integração.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
p(x) = C x^lambda
Como estamos trabalhando com polinômios de grau até 4, deve ser um número tal que seja um polinômio, ou seja, deve ser um inteiro não negativo.

Passo 7

Portanto, os possíveis valores de são 0, 1, 2, 3 e 4. Para cada , o autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovalores de são e os respectivos autovetores são os polinômios , , , e .

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