Em cada um dos casos abaixo, decida se o triângulo A B C tem um ângulo obtuso, um ângulo reto ou se seus três ângulos são agudos:
a) A=(0,0), B=(3,152), C=(-45,1);
b) A=(1,2), B=(2,-3), C=(4,8);
c) A=(2,3), B=(6,7), C=(3,10).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se cada triângulo tem um ângulo obtuso, reto ou se todos os ângulos são agudos. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula da distância para encontrar os lados do triângulo e depois aplicar o Teorema de Pitágoras ou o Teorema dos Cossenos para classificar os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Isso vai nos dar o comprimento de cada lado do triângulo.

Passo 3

Parte a)
Temos os pontos AB = raiz(3 - 0)^2 + (152 - 0)^2 = raiz9 + 23104 = raiz23113 approx 151.99 , AC = raiz(-45 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = raiz2025 + 1 = raiz2026 approx 45.02 e BC = raiz(-45 - 3)^2 + (1 - 152)^2 = raiz(-48)^2 + (-151)^2 = raiz2304 + 22801 = raiz25105 approx 158.42 .
Vamos calcular os lados:
  • Lado AB:
AB^2 + AC^2 = 23113 + 2026 = 251139
  • Lado AC:
BC^2 = 25105
  • Lado BC:
Agora, vamos verificar se o triângulo tem algum ângulo obtuso, reto ou todos agudos usando o Teorema de Pitágoras.
Calculamos e comparamos com :
Como , isso indica que todos os ângulos são agudos.

Passo 4

Parte b)
Pontos AB = raiz(2 - 1)^2 + (-3 - 2)^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5.10 , AC = raiz(4 - 1)^2 + (8 - 2)^2 = raiz9 + 36 = raiz45 approx 6.71 e BC = raiz(4 - 2)^2 + (8 - (-3))^2 = raiz4 + 121 = raiz125 approx 11.18 .
Calculando os lados:
  • Lado AB:
AB^2 + AC^2 = 26 + 45 = 71
  • Lado AC:
BC^2 = 125
  • Lado BC:
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Como , o triângulo possui um ângulo obtuso.

Passo 5

Parte c)
Pontos AB = raiz(6 - 2)^2 + (7 - 3)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 approx 5.66 , AC = raiz(3 - 2)^2 + (10 - 3)^2 = raiz1 + 49 = raiz50 approx 7.07 e BC = raiz(3 - 6)^2 + (10 - 7)^2 = raiz9 + 9 = raiz18 approx 4.24 .
Calculando os lados:
  • Lado AB:
AB^2 + BC^2 = 32 + 18 = 50
  • Lado AC:
AC^2 = 50
  • Lado BC:
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Como , o triângulo possui um ângulo reto.

Resposta

a) O triângulo tem todos os ângulos agudos.
b) O triângulo possui um ângulo obtuso.
c) O triângulo possui um ângulo reto.

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