Encontre una base ortonor mal para o subespace do
que. cousiste de todos or wetores
Tais que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma base ortonormal para um subespaço de
. Esse subespaço é formado por todos os vetores
que satisfazem a equação:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, bases e o processo de ortonormalização. Vamos precisar encontrar vetores que estejam dentro desse subespaço e que sejam mutuamente ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si) e que tenham comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o subespaço definido pela equação
. Para facilitar, vamos isolar uma das variáveis. Vamos isolar
:
Agora, podemos expressar qualquer vetor
desse subespaço em função das variáveis livres
,
e
:
Passo 3
Vamos reescrever o vetor em termos de
,
e
:
Observamos que o termo
não depende de
,
ou
, mas para o subespaço vetorial, devemos ter só combinações lineares das variáveis livres sem termos constantes. Assim, parece que há uma inconsistência, indicando que a equação talvez devesse ser homogênea (igual a zero). Vamos assumir que a equação correta é
.
Passo 4
Com a equação homogênea
, isolamos
:
Agora, expressamos o vetor
em termos das variáveis livres
,
e
:
Passo 5
Identificamos que uma base para o subespaço é formada pelos vetores:
Agora, precisamos transformar essa base em uma base ortonormal, ou seja, vetores que são todos unitários e mutuamente perpendiculares.
Passo 6
Vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar os vetores
,
e
.
Primeiro, normalizamos
:
Passo 7
Agora, projetamos
em
e subtraímos para obter um vetor ortogonal a
:
Agora, normalizamos
:
Passo 8
Finalmente, vamos ortogonalizar
em relação a
e
:
Normalizamos
:
Resposta
Uma base ortonormal para o subespaço de
é composta pelos vetores:
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Um plano
contém as retas
e
Calcule o ângulo que o plano
faz com o plano
.
Syam
. Para quais valores de aeb, ocoujunts
éortonormal?
Em cada um dos casos abaixo, decida se o triângulo
tem um ângulo obtuso, um ângulo reto ou se seus três ângulos são agudos:
a) ;
b) ;
c) .
a)
b)
c)
Emontre una base ortonor mal para o subes pago do
que couniste de todor as retores