Encontre una base ortonor mal para o subespace do R^4 que. cousiste de todos or wetores (a, b, c, d) Tais que
a-b-2 c+2=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma base ortonormal para um subespaço de a - b - 2c + 2 = 0 . Esse subespaço é formado por todos os vetores que satisfazem a equação:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, bases e o processo de ortonormalização. Vamos precisar encontrar vetores que estejam dentro desse subespaço e que sejam mutuamente ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si) e que tenham comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o subespaço definido pela equação a = b + 2c - 2 . Para facilitar, vamos isolar uma das variáveis. Vamos isolar (a, b, c, d) = (b + 2c - 2, b, c, d) :
Agora, podemos expressar qualquer vetor desse subespaço em função das variáveis livres , e :

Passo 3

Vamos reescrever o vetor em termos de (a, b, c, d) = b(1, 1, 0, 0) + c(2, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1) + (-2, 0, 0, 0) , e :
Observamos que o termo não depende de , ou , mas para o subespaço vetorial, devemos ter só combinações lineares das variáveis livres sem termos constantes. Assim, parece que há uma inconsistência, indicando que a equação talvez devesse ser homogênea (igual a zero). Vamos assumir que a equação correta é .

Passo 4

Com a equação homogênea a = b + 2c , isolamos (a, b, c, d) = b(1, 1, 0, 0) + c(2, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1) :
Agora, expressamos o vetor em termos das variáveis livres , e :

Passo 5

Identificamos que uma base para o subespaço é formada pelos vetores:
v1 = (1, 1, 0, 0)
v2 = (2, 0, 1, 0)
v3 = (0, 0, 0, 1)
Agora, precisamos transformar essa base em uma base ortonormal, ou seja, vetores que são todos unitários e mutuamente perpendiculares.

Passo 6

Vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar os vetores |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz2 , u1 = v1|v1| = (1raiz2, 1raiz2, 0, 0) e .
Primeiro, normalizamos :

Passo 7

Agora, projetamos proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 em v2 cdot u1 = 2 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = 2raiz2 = raiz2 e subtraímos para obter um vetor ortogonal a proju1 v2 = raiz2 cdot (1raiz2, 1raiz2, 0, 0) = (1, 1, 0, 0) :
v2' = v2 - proju1 v2 = (2, 0, 1, 0) - (1, 1, 0, 0) = (1, -1, 1, 0)
|v2'| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz3
u2 = v2'|v2'| = (1raiz3, -1raiz3, 1raiz3, 0)
Agora, normalizamos :

Passo 8

Finalmente, vamos ortogonalizar proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = 0 em relação a proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 = 0 e v3' = v3 - proju1 v3 - proju2 v3 = (0, 0, 0, 1) :
|v3'| = raiz0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
u3 = v3' = (0, 0, 0, 1)
Normalizamos :

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço de u1 = (1raiz2, 1raiz2, 0, 0) é composta pelos vetores:
u2 = (1raiz3, -1raiz3, 1raiz3, 0)
u3 = (0, 0, 0, 1)

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Emontre una base ortonor mal para o subes pago do R^4 que couniste de todor as retores a-b-c=0