Emontre una base ortonor mal para o subes pago do que couniste de todor as retores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é encontrar uma base ortonormal para um subespaço de que é definido pela condição . Isso está relacionado com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais e bases ortonormais. Vamos precisar entender como identificar uma base para o subespaço e depois aplicar o processo de ortonormalização, geralmente usando o método de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o subespaço que estamos lidando. O subespaço é composto por todos os vetores que satisfazem a equação . Isso significa que . Podemos reescrever qualquer vetor no subespaço em termos de , e :
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor em termos de parâmetros livres. Observamos que , , e podem assumir qualquer valor real, então podemos escrever:
Isso nos mostra que os vetores , e formam uma base para o subespaço.
Passo 4
Agora, queremos que essa base seja ortonormal, ou seja, que todos os vetores sejam unitários (com comprimento 1) e mutuamente perpendiculares. Para isso, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar e depois normalizar os vetores da base.
Vamos chamar os vetores da base inicial de:
Passo 5
Primeiro, vamos normalizar para obter o primeiro vetor da base ortonormal, :
Passo 6
Agora, vamos ortogonalizar em relação a :
Agora, normalizamos para obter :
Passo 7
Por fim, vamos ortogonalizar u3 em relação a e1 e e2: