Emontre una base ortonor mal para o subes pago do R^4 que couniste de todor as retores a-b-c=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é encontrar uma base ortonormal para um subespaço de R^4 que é definido pela condição a - b - c = 0. Isso está relacionado com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais e bases ortonormais. Vamos precisar entender como identificar uma base para o subespaço e depois aplicar o processo de ortonormalização, geralmente usando o método de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o subespaço que estamos lidando. O subespaço é composto por todos os vetores v = (a, b, c, d) in R^4 que satisfazem a equação a - b - c = 0. Isso significa que a = b + c. Podemos reescrever qualquer vetor no subespaço em termos de b, c e d:
v = (b + c, b, c, d)

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor v em termos de parâmetros livres. Observamos que b, c, e d podem assumir qualquer valor real, então podemos escrever:
v = b(1, 1, 0, 0) + c(1, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1)
Isso nos mostra que os vetores (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1) formam uma base para o subespaço.

Passo 4

Agora, queremos que essa base seja ortonormal, ou seja, que todos os vetores sejam unitários (com comprimento 1) e mutuamente perpendiculares. Para isso, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar e depois normalizar os vetores da base.
Vamos chamar os vetores da base inicial de:
u1 = (1, 1, 0, 0) u2 = (1, 0, 1, 0) u3 = (0, 0, 0, 1)

Passo 5

Primeiro, vamos normalizar u1 para obter o primeiro vetor da base ortonormal, e1:
|u1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz2 e1 = u1|u1| = ( 1raiz2, 1raiz2, 0, 0 )

Passo 6

Agora, vamos ortogonalizar u2 em relação a e1:
Proje1 u2 = ( u2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 u2 cdot e1 = 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = 1raiz2 Proje1 u2 = 1raiz2 cdot e1 = ( 12, 12, 0, 0 ) u2' = u2 - Proje1 u2 = (1, 0, 1, 0) - ( 12, 12, 0, 0 ) = ( 12, -12, 1, 0 )
Agora, normalizamos u2' para obter e2:
|u2'| = raiz(12)^2 + (-12)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz14 + 14 + 1 = raiz32 e2 = u2'|u2'| = ( 12raiz32, -12raiz32, 1raiz32, 0 ) = ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6, 0 )

Passo 7

Por fim, vamos ortogonalizar u3 em relação a e1 e e2:
Primeiro, calculamos a projeção de u3 em e1:
u3 cdot e1 = 0 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 = 0 Proje1 u3 = 0 cdot e1 = (0, 0, 0, 0)
Depois, a projeção em e2:
u3 cdot e2 = 0 cdot 1raiz6 + 0 cdot -1raiz6 + 0 cdot 2raiz6 + 1 cdot 0 = 0 Proje2 u3 = 0 cdot e2 = (0, 0, 0, 0) u3' = u3 - Proje1 u3 - Proje2 u3 = (0, 0, 0, 1) - (0, 0, 0, 0) - (0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 1)
Agora, normalizamos u3' para obter e3:
|u3'| = raiz0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 e3 = u3'|u3'| = (0, 0, 0, 1)

Resposta

A base ortonormal para o subespaço de R^4 definido por a - b - c = 0 é:
( 1raiz2, 1raiz2, 0, 0 ), ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6, 0 ), ( 0, 0, 0, 1 )

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos abaixo, decida se o triângulo A B C tem um ângulo obtuso, um ângulo reto ou se seus três ângulos são agudos:
a) A=(0,0), B=(3,152), C=(-45,1);
b) A=(1,2), B=(2,-3), C=(4,8);
c) A=(2,3), B=(6,7), C=(3,10).
Encontre una base ortonor mal para o subespace do R^4 que. cousiste de todos or wetores (a, b, c, d) Tais que
a-b-2 c+2=0
Dados A=(2,5) e C=(-8,2), calcule os cossenos dos ângulos O widehatA C e O widehatC A.
  • Comidere as retas (x, y, z)=t(1,2,-3) e (x, z)=(0,1,2)+s(2, mu,-6) ene R^3. Emcontre a equacéo geval do plano que contern essas deras setas e ache una base ortonor mal para este plano. Complete esta baxe ortonormal de R^3.