Um plano pi contém as retas r:-2 x=-y3=4 z+22 e s:ly=-6 z+3 x=-z Calcule o ângulo que o plano pi faz com o plano x y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o ângulo que o plano pi faz com o plano xy. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais. Precisaremos encontrar o vetor normal do plano pi e o vetor normal do plano xy, e então calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as direções das retas r e s que estão no plano pi. A reta r está dada por:
-2x = -y3 = 4z + 22
Podemos reescrever isso em termos parametrizados:
x = t-2, y = 3t, z = 2t - 24 = t2 - 12
Mas para simplificar, vamos identificar o vetor diretor da reta r observando os coeficientes:
O vetor diretor de r é vr = ( -12, 3, 12 ).

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta s, que está definida pelo sistema de equações:
y = -6z + 3 x = -z
Podemos expressar z como parâmetro t:
z = t x = -t y = -6t + 3
Portanto, o vetor diretor da reta s é vs = (-1, -6, 1).

Passo 4

Com os vetores diretores das retas r e s, podemos encontrar o vetor normal do plano pi usando o produto vetorial entre vr e vs. O produto vetorial é dado por:
n = vr times vs
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k -12 & 3 & 12 -1 & -6 & 1
n = i(3 cdot 1 - 12 cdot (-6)) - j ( -12 cdot 1 - 12 cdot (-1) ) + k ( -12 cdot (-6) - 3 cdot (-1) )
n = i(3 + 3) - j ( -12 + 12 ) + k ( 3 + 3 )
n = 6i - 0j + 6k
Então, o vetor normal do plano pi é n = (6, 0, 6).

Passo 5

O plano xy tem um vetor normal conhecido: nxy = (0, 0, 1), pois é perpendicular ao eixo z.
Agora, para encontrar o ângulo entre os planos pi e xy, vamos calcular o ângulo entre seus vetores normais n e nxy.
A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores é:
cos theta = n cdot nxy|n| cdot |nxy|

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto escalar n cdot nxy:
n cdot nxy = (6)(0) + (0)(0) + (6)(1) = 0 + 0 + 6 = 6
Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores:
|n| = raiz6^2 + 0^2 + 6^2 = raiz36 + 0 + 36 = raiz72 = 6raiz2
|nxy| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz0 + 0 + 1 = 1

Passo 7

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos theta = 66raiz2 cdot 1 = 66raiz2 = 1raiz2 = raiz22
Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos( raiz22 ) = 45^circ

Resposta

O ângulo que o plano pi forma com o plano xy é de 45^circ.

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