Em cada um dos casos abaixo, desenhe um número suficiente de vetores para ilustrar o campo gradiente de :
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar vetores que ilustrem o campo gradiente da função . Isso envolve o cálculo do gradiente, que é uma ferramenta da matemática utilizada, principalmente no cálculo multivariável, para mostrar a direção e a intensidade da maior taxa de aumento de uma função. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais para encontrar esse gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para :
  • A derivada parcial em relação a é:
  • A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, podemos construir o vetor gradiente. O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função, e sua magnitude representa a intensidade desse aumento.
Então, para a nossa função:

Passo 4

Com o vetor gradiente em mãos, vamos ilustrar o campo gradiente. Isso significa que para cada ponto no plano, desenharemos um vetor que parte desse ponto e aponta na direção de . Basicamente, cada vetor vai apontar diretamente para fora do ponto de origem, com comprimento proporcional à distância desse ponto da origem.
Imagine um gráfico onde:
  • No ponto , o vetor gradiente seria .
  • No ponto , o vetor seria .
  • No ponto , o vetor seria .
Esses vetores mostram claramente a direção em que a função aumenta mais rapidamente a partir de cada ponto.

Resposta

O campo gradiente da função é dado por . Isso significa que, em cada ponto , o vetor gradiente aponta na direção com magnitude proporcional à distância do ponto à origem.

Exercícios relacionados

Seja . Considere a curva e calcule:
b) .
Dada a curva . Qual a equação do plano normal à curva no ponto , correspondente a ?
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
; quando .
Calcule a integral.