Em cada um dos casos abaixo, desenhe um número suficiente de vetores para ilustrar o campo gradiente de
:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar vetores que ilustrem o campo gradiente da função
. Isso envolve o cálculo do gradiente, que é uma ferramenta da matemática utilizada, principalmente no cálculo multivariável, para mostrar a direção e a intensidade da maior taxa de aumento de uma função. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais para encontrar esse gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para
:
-
A derivada parcial em relação a
é: -
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, podemos construir o vetor gradiente. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função, e sua magnitude representa a intensidade desse aumento.
Então, para a nossa função:
Passo 4
Com o vetor gradiente
em mãos, vamos ilustrar o campo gradiente. Isso significa que para cada ponto
no plano, desenharemos um vetor que parte desse ponto e aponta na direção de
. Basicamente, cada vetor vai apontar diretamente para fora do ponto de origem, com comprimento proporcional à distância desse ponto da origem.
Imagine um gráfico onde:
- No ponto
, o vetor gradiente seria . - No ponto
, o vetor seria . - No ponto
, o vetor seria .
Esses vetores mostram claramente a direção em que a função
aumenta mais rapidamente a partir de cada ponto.
Resposta
O campo gradiente da função
é dado por
. Isso significa que, em cada ponto
, o vetor gradiente aponta na direção
com magnitude proporcional à distância do ponto à origem.
Exercícios relacionados
Seja
. Considere a curva
e calcule:
b) .
b)
Dada a curva
. Qual a equação do plano normal à curva no ponto
, correspondente a
?
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
.
Calcule a integral.