Dada a curva
. Qual a equação do plano normal à curva no ponto
, correspondente a
?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma curva definida por
e queremos encontrar a equação do plano normal à curva no ponto
quando
.
Matéria envolvida: Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente sobre vetores tangentes e planos normais a curvas no espaço.
O que vamos precisar:
- Encontrar o ponto
correspondente a . - Calcular o vetor tangente à curva nesse ponto.
- Usar esse vetor tangente para determinar a equação do plano normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto
quando
. Substituindo
na parametrização da curva:
Então, o ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto
. Para isso, derivamos cada componente da parametrização em relação a
:
Então, o vetor tangente
é:
No ponto
:
Passo 4
O próximo passo é usar o vetor tangente para determinar a equação do plano normal. O plano normal é perpendicular ao vetor tangente e passa pelo ponto
.
A equação geral de um plano perpendicular ao vetor
e que passa pelo ponto
é:
Aqui, o vetor normal
é o vetor tangente
e o ponto é
.
Passo 5
Substituindo os valores na equação do plano:
Simplificando:
Ou, rearranjando:
Resposta
A equação do plano normal à curva no ponto
é: