Dada a curva (x, y, z) = (e^t, e^(-1), raiz(2) t). Qual a equação do plano normal à curva no ponto P, correspondente a t = 0 ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma curva definida por e queremos encontrar a equação do plano normal à curva no ponto quando .
Matéria envolvida: Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente sobre vetores tangentes e planos normais a curvas no espaço.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar o ponto correspondente a .
  2. Calcular o vetor tangente à curva nesse ponto.
  3. Usar esse vetor tangente para determinar a equação do plano normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto quando . Substituindo na parametrização da curva:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, derivamos cada componente da parametrização em relação a :
Então, o vetor tangente é:
No ponto :

Passo 4

O próximo passo é usar o vetor tangente para determinar a equação do plano normal. O plano normal é perpendicular ao vetor tangente e passa pelo ponto .
A equação geral de um plano perpendicular ao vetor e que passa pelo ponto é:
Aqui, o vetor normal é o vetor tangente e o ponto é .

Passo 5

Substituindo os valores na equação do plano:
Simplificando:
Ou, rearranjando:

Resposta

A equação do plano normal à curva no ponto é:

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