Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
; quando .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar quais conceitos vamos usar. Temos uma função composta onde depende de e , que por sua vez dependem de , e . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções compostas de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para múltiplas variáveis. Se depende de e , que dependem de , e , então a derivada parcial de em relação a, por exemplo, , é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das derivadas solicitadas.

Passo 3

Vamos encontrar .
Primeiro, derivamos em relação a e :
Agora, derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 4

Agora, vamos encontrar .
Derivamos em relação a e novamente:
Derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar (assumindo que o “q” no enunciado foi um erro de digitação).
Derivamos em relação a e :
Derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores , e nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos e nesses valores:
Agora, substituímos , , e nas derivadas:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais quando , e são:

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos abaixo, desenhe um número suficiente de vetores para ilustrar o campo gradiente de :
a) ;
Seja . Considere a curva e calcule:
b) .
Calcule a integral.
Mostre, pela definição, que:
b) .