Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^w; partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial q quando u=2, v=1, w=0.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar quais conceitos vamos usar. Temos uma função composta onde depende de e , que por sua vez dependem de , e . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções compostas de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para múltiplas variáveis. Se partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u depende de e , que dependem de , e , então a derivada parcial de em relação a, por exemplo, , é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das derivadas solicitadas.

Passo 3

Vamos encontrar partial zpartial x = 2x + y^3 .
Primeiro, derivamos partial zpartial y = 3xy^2 em relação a partial xpartial u = v^2 e partial ypartial u = 1 :
partial zpartial u = (2x + y^3) cdot v^2 + (3xy^2) cdot 1
Agora, derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 4

Agora, vamos encontrar partial zpartial x = 2x + y^3 .
Derivamos partial zpartial y = 3xy^2 em relação a partial xpartial v = 2uv e partial ypartial v = e^w novamente:
partial zpartial v = (2x + y^3) cdot 2uv + (3xy^2) cdot e^w
Derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar partial zpartial x = 2x + y^3 (assumindo que o “q” no enunciado foi um erro de digitação).
Derivamos partial zpartial y = 3xy^2 em relação a partial xpartial w = 3w^2 e partial ypartial w = v e^w :
partial zpartial w = (2x + y^3) cdot 3w^2 + (3xy^2) cdot v e^w
Derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores x = u v^2 + w^3 = 2 cdot 1^2 + 0^3 = 2 , y = u + v e^w = 2 + 1 cdot e^0 = 2 + 1 = 3 e partial zpartial u = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 1^2 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot 1 = (4 + 27) cdot 1 + (18 cdot 9) cdot 1 = 31 + 162 = 193 nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos partial zpartial v = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 2 cdot 2 cdot 1 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot e^0 = (4 + 27) cdot 4 + (18 cdot 9) cdot 1 = 31 cdot 4 + 162 = 124 + 162 = 286 e partial zpartial w = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 3 cdot 0^2 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot 1 cdot e^0 = (4 + 27) cdot 0 + (18 cdot 9) cdot 1 = 0 + 162 = 162 nesses valores:
Agora, substituímos , , e nas derivadas:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais quando partial zpartial u = 193 , partial zpartial v = 286 e partial zpartial w = 162 são:

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