Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar quais conceitos vamos usar. Temos uma função composta onde
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções compostas de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para múltiplas variáveis. Se
depende de
e
, que dependem de
,
e
, então a derivada parcial de
em relação a, por exemplo,
, é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das derivadas solicitadas.
Passo 3
Vamos encontrar
.
Primeiro, derivamos
em relação a
e
:
Agora, derivamos
e
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
.
Derivamos
em relação a
e
novamente:
Derivamos
e
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar
(assumindo que o “q” no enunciado foi um erro de digitação).
Derivamos
em relação a
e
:
Derivamos
e
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos
e
nesses valores:
Agora, substituímos
,
,
e
nas derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais quando
,
e
são:
Exercícios relacionados
Em cada um dos casos abaixo, desenhe um número suficiente de vetores para ilustrar o campo gradiente de
:
a) ;
a)
Seja
. Considere a curva
e calcule:
b) .
b)
Calcule a integral.
Mostre, pela definição, que:
b) .
b)