Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição para resolver integrais que envolvem funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Olha só, no denominador temos , então vamos deixar isso ser nossa substituição.

Passo 3

Vamos definir . Assim, precisamos descobrir o que é . Calculando a derivada de em relação a , temos:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando, fica:

Passo 5

Vamos integrar . A regra da potência diz que:
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo :
Portanto, a integral é:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
; quando .
Em cada um dos casos abaixo, desenhe um número suficiente de vetores para ilustrar o campo gradiente de :
a) ;
Mostre, pela definição, que:
b) .
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.