Calcule a integral. integral xraiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição para resolver integrais que envolvem funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Olha só, no denominador temos , então vamos deixar isso ser nossa substituição.

Passo 3

Vamos definir du = 2x , dx . Assim, precisamos descobrir o que é . Calculando a derivada de em relação a , temos:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, substituímos integral xraiz1+x^2 dx = integral 1raizu cdot du2 e 12 integral u^-1/2 du na integral original:
Simplificando, fica:

Passo 5

Vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C . A regra da potência diz que:
12 cdot u^1/21/2 + C = u^1/2 + C
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u^1/2 = raiz1 + x^2 :
raiz1 + x^2 + C
Portanto, a integral é:

Resposta

A integral é igual a .

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