Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar e desenhar as curvas de nível da função
, onde
. Aqui, o conteúdo que vamos usar é o conceito de curvas de nível, que são linhas no plano onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis,
, uma curva de nível para um valor constante
é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Ou seja, estamos fixando o valor da função e vendo quais valores de
e
mantêm essa igualdade.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica:
. Queremos encontrar as curvas de nível, então vamos igualar a função a uma constante
:
Isso significa que para cada valor de
, a curva de nível é onde
é igual a esse valor constante.
Passo 4
Vamos analisar o que
representa no plano cartesiano. Essa equação descreve uma linha vertical que cruza o eixo
no ponto
. Como
, estamos considerando apenas linhas verticais à direita do eixo
.
Resposta
As curvas de nível da função
com
são linhas verticais de equação
, onde
é uma constante positiva.