Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
i)
.
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar e desenhar as curvas de nível da função
. Curvas de nível são aquelas linhas no gráfico onde a função mantém o mesmo valor. Para fazer isso, vamos escolher diferentes valores para
e ver como essas equações ficam no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma constante
tal que
. Assim, temos:
Essa é a equação que vamos analisar para diferentes valores de
. Dependendo de quanto
é, a forma da curva muda.
Passo 3
Agora, vamos ver os diferentes casos com base no valor de
:
- Quando
:
A equação fica:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma hipérbole que abre para os lados direito e esquerdo (ao longo do eixo
).
- Quando
:
A equação vira:
Aqui, temos duas retas que se cruzam na origem, formando um “X”.
- Quando
:
A equação se transforma em:
Como
é negativo, podemos reescrever:
Dividindo tudo por
(positivo, já que
):
Isso também representa uma hipérbole, mas agora que abre para cima e para baixo (ao longo do eixo
).
Passo 4
Resumindo:
- Para
: Hipérboles que abrem para os lados. - Para
: Duas retas que se cruzam. - Para
: Hipérboles que abrem para cima e para baixo.
No gráfico, isso se traduz em diferentes formas de hipérboles dependendo de
, e no caso de
, apenas um “X” formado pelas retas.
Resposta
As curvas de nível da função
são hipérboles para valores de
diferentes de zero, pequenas retas que se cruzam no ponto de origem quando
. No gráfico, você verá hipérboles abrindo horizontalmente ou verticalmente dependendo do valor de
, e duas linhas retas formando um “X” no centro quando
.
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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
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Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
e) .
e)
Use a definição de limite para mostrar que:
b) .
b)