Use a definição de limite para mostrar que:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição formal de limite para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função de duas variáveis. Dizemos que
se, para qualquer
, conseguimos encontrar um
tal que sempre que
, então
. No nosso caso,
e queremos mostrar que
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Queremos que
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Usando a desigualdade triangular, temos:
Queremos que essa soma seja menor que
. Para isso, podemos escolher
de forma que tanto
quanto
sejam menores que
. Assim, temos:
Então,
Passo 5
Finalmente, escolhemos
. Assim, sempre que
, teremos
, cumprindo a definição de limite.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que
.