Use a definição de limite para mostrar que:
b) lim (x, y) (-2,5)(-x-7 y)=-33.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição formal de limite para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função de duas variáveis. Dizemos que se, para qualquer , conseguimos encontrar um tal que sempre que , então . No nosso caso, e queremos mostrar que .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Queremos que , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|-x - 7y + 33| = |-(x + 2) - 7(y - 5)|
Usando a desigualdade triangular, temos:
|-(x + 2) - 7(y - 5)| <= |x + 2| + 7|y - 5|
Queremos que essa soma seja menor que |x + 2| < varepsilon8 e |y - 5| < varepsilon8 . Para isso, podemos escolher |x + 2| + 7|y - 5| < varepsilon8 + 7 cdot varepsilon8 = varepsilon de forma que tanto quanto sejam menores que . Assim, temos:
Então,

Passo 5

Finalmente, escolhemos . Assim, sempre que , teremos , cumprindo a definição de limite.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

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