Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
g)
.
g)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para determinar e esboçar as curvas de nível da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e usando o conceito de curvas de nível, que são as curvas onde a função assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar entender como isolar
em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a curva de nível. Para isso, fixamos
, onde
é uma constante. Isso significa que temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
para expressá-la de forma mais simples. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Esta é a equação da reta! Então, para cada valor de
, temos uma reta diferente. As curvas de nível da função
são, portanto, linhas retas com inclinação
e interceptação no eixo
em
.
Passo 5
Para esboçar as curvas de nível, podemos escolher alguns valores de
e desenhar as respectivas retas:
- Se
: - Se
: - Se
:
Dessa forma, veremos um conjunto de retas paralelas, cada uma correspondendo a um valor diferente de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são retas da forma
, onde
é uma constante. Cada curva de nível é uma linha reta com inclinação
e interceptação no eixo
em
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
r)
r)
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
c)
c)
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico: