Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
g)
.
g)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para determinar e esboçar as curvas de nível da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e usando o conceito de curvas de nível, que são as curvas onde a função assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar entender como isolar
em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a curva de nível. Para isso, fixamos
, onde
é uma constante. Isso significa que temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
para expressá-la de forma mais simples. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Esta é a equação da reta! Então, para cada valor de
, temos uma reta diferente. As curvas de nível da função
são, portanto, linhas retas com inclinação
e interceptação no eixo
em
.
Passo 5
Para esboçar as curvas de nível, podemos escolher alguns valores de
e desenhar as respectivas retas:
- Se
: - Se
: - Se
:
Dessa forma, veremos um conjunto de retas paralelas, cada uma correspondendo a um valor diferente de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são retas da forma
, onde
é uma constante. Cada curva de nível é uma linha reta com inclinação
e interceptação no eixo
em
.