Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
r) lim substackx 1 y 1(x y-x) sen(1x-1) cos (1y-1)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da seguinte expressão quando lim substackx 1 y 1(x y - x) sin(1x-1) cos (1y-1) e se aproximam de 1:
Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e multiplicação de termos que se aproximam de zero. Vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco da teoria sobre funções oscilatórias como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte x y - x = x(y - 1) da expressão. Podemos fatorar lim substackx 1 y 1 x(y - 1) sin(1x-1) cos (1y-1) :
Então, a expressão do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte dessa expressão:
  1. : Quando se aproxima de 1, simplesmente se aproxima de 1.
  2. : Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0.
  3. e : Essas funções estão oscilando entre -1 e 1 de forma muito rápida à medida que e se aproximam de 1.

Passo 4

Vamos agora considerar o comportamento da expressão inteira:
x(y - 1) sin(1x-1) cos (1y-1)
Sabemos que:
  • -1 <= sin(1x-1) <= 1 e -1 <= cos(1y-1) <= 1 está se aproximando de 1.
  • está se aproximando de 0.
  • As funções seno e cosseno estão limitadas entre -1 e 1, ou seja:

Passo 5

Multiplicando tudo, temos que:
-1 <= sin(1x-1) <= 1 e -1 <= cos(1y-1) <= 1
Portanto, o produto das funções seno e cosseno também estará entre -1 e 1:
-1 <= sin(1x-1) cos(1y-1) <= 1
Multiplicando por - lvert x(y - 1) rvert <= x(y - 1) sin(1x-1) cos(1y-1) <= lvert x(y - 1) rvert :

Passo 6

Como se aproxima de 1, está limitado (nesse caso, próximo a 1). E se aproxima de 0. Então, também se aproxima de 0.
Pela regra do sandu��che (ou teorema de comparação), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem a 0, então ela própria também tende a 0.

Resposta

0

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