Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
r)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da seguinte expressão quando e se aproximam de 1:
Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e multiplicação de termos que se aproximam de zero. Vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco da teoria sobre funções oscilatórias como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da expressão. Podemos fatorar :
Então, a expressão do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte dessa expressão:
  1. : Quando se aproxima de 1, simplesmente se aproxima de 1.
  2. : Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0.
  3. e : Essas funções estão oscilando entre -1 e 1 de forma muito rápida à medida que e se aproximam de 1.

Passo 4

Vamos agora considerar o comportamento da expressão inteira:
Sabemos que:
  • está se aproximando de 1.
  • está se aproximando de 0.
  • As funções seno e cosseno estão limitadas entre -1 e 1, ou seja:

Passo 5

Multiplicando tudo, temos que:
Portanto, o produto das funções seno e cosseno também estará entre -1 e 1:
Multiplicando por :

Passo 6

Como se aproxima de 1, está limitado (nesse caso, próximo a 1). E se aproxima de 0. Então, também se aproxima de 0.
Pela regra do sandu��che (ou teorema de comparação), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem a 0, então ela própria também tende a 0.

Resposta

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Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
c)
Use a definição de limite para mostrar que:
c) .
Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
g) .