Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
r)
r)
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da seguinte expressão quando
e
se aproximam de 1:
Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e multiplicação de termos que se aproximam de zero. Vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco da teoria sobre funções oscilatórias como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte
da expressão. Podemos fatorar
:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte dessa expressão:
-
: Quando se aproxima de 1, simplesmente se aproxima de 1. -
: Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. -
e : Essas funções estão oscilando entre -1 e 1 de forma muito rápida à medida que e se aproximam de 1.
Passo 4
Vamos agora considerar o comportamento da expressão inteira:
Sabemos que:
-
está se aproximando de 1. -
está se aproximando de 0. - As funções seno e cosseno estão limitadas entre -1 e 1, ou seja:
Passo 5
Multiplicando tudo, temos que:
Portanto, o produto das funções seno e cosseno também estará entre -1 e 1:
Multiplicando por
:
Passo 6
Como
se aproxima de 1,
está limitado (nesse caso, próximo a 1). E
se aproxima de 0. Então,
também se aproxima de 0.
Pela regra do sandu��che (ou teorema de comparação), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem a 0, então ela própria também tende a 0.
Resposta
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Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
c)
c)
Use a definição de limite para mostrar que:
c) .
c)
Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
g) .
g)