Em cada um dos casos abaixo (i) determine o gradiente de
, (ii) calcule o gradiente no ponto
, (iii) determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor u.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função
, o ponto
e o vetor
. Precisamos:
- Determinar o gradiente de
. - Calcular o gradiente no ponto
. - Encontrar a taxa de variação de
em na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente de uma função escala
é um vetor formado pelas suas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas parciais, temos o gradiente de
:
Passo 7
Vamos calcular o gradiente no ponto
. Primeiro, substituímos
,
e
na expressão do gradiente:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 8
Por fim, vamos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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