Em cada um dos casos abaixo (i) determine o gradiente de , (ii) calcule o gradiente no ponto , (iii) determine a taxa de variação de em na direção do vetor u.
(d)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função , o ponto e o vetor . Precisamos:
  1. Determinar o gradiente de .
  2. Calcular o gradiente no ponto .
  3. Encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente de uma função escala é um vetor formado pelas suas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas parciais, temos o gradiente de :

Passo 7

Vamos calcular o gradiente no ponto . Primeiro, substituímos , e na expressão do gradiente:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 8

Por fim, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor . A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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