Resolva as equaçőes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação para resolver:
Aqui, estamos lidando com exponenciais, que é um tópico de funções matemáticas. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como trabalhar com potências e, possivelmente, fazer uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos a mesma base de potência, , nos dois termos da esquerda. Isso sugere que podemos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos chamar:
Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver para . No entanto, essa equação ainda é um pouco complicada devido às bases diferentes das potências. Para facilitar, vamos tentar reescrever os números de uma forma que possamos trabalhar melhor com eles. Sabemos que:
Vamos ver se conseguimos expressar de uma maneira que nos ajude. Mas, nesse caso, não é uma potência exata de 5, então vamos manter esse número como está.

Passo 4

Vamos reescrever a equação com a substituição feita:
Substituindo por :
Simplificando as potências:
Agora temos uma equação que relaciona e .

Passo 5

Resolver essa equação diretamente pode ser complicado devido às diferentes bases das potências. Uma abordagem é tentar encontrar um valor de que satisfaça a equação por meio de tentativas ou usando métodos numéricos, já que uma solução analítica exata pode não ser fácil de obter.
Vamos tentar algumas estimativas:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que os valores estão ficando cada vez mais distantes. Talvez precisemos considerar valores fracionários para .

Passo 6

Vamos tentar um valor menor para , por exemplo, :
Ainda não atingimos o valor desejado. Parece que precisamos de uma abordagem diferente, como usar logaritmos para resolver a equação.

Passo 7

Vamos tentar usar logaritmos. Retornando à equação original após a substituição:
Infelizmente, essa equação não se simplifica facilmente com logaritmos devido à presença de dois termos exponenciais diferentes. Nesse caso, a melhor maneira de resolver seria usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar o valor aproximado de que satisfaz a equação, e em seguida, voltar a .

Passo 8

Como métodos numéricos estão além do escopo dessa explicação, vamos concluir que a solução exata para essa equação requer ferramentas mais avançadas ou software matemático para encontrar uma aproximação para . Uma vez encontrado , podemos calcular usando:

Resposta

A equação não possui uma solução analítica simples. Para encontrar o valor de , é necessário utilizar métodos numéricos ou ferramentas computacionais que permitam calcular uma aproximação para e, consequentemente, para .

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Em cada um dos casos abaixo (i) determine o gradiente de , (ii) calcule o gradiente no ponto , (iii) determine a taxa de variação de em na direção do vetor u.
(d)
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Derive de forma implícita para encontrar .
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