Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n

Passo 1

Vamos analisar a série geométrica dada: sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n. Nosso objetivo é determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular a soma. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries geométricas e suas condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para identificar claramente a razão e o termo inicial. Observe que:
3^n+1(-2)^n = 3 cdot (3-2)^n
Então, a série fica:
sumn=0^infty 3 cdot (3-2)^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty a cdot r^n
onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série.
No nosso caso:
  • a = 3
  • r = 3-2

Passo 4

Para saber se a série geométrica converge ou diverge, usamos a regra seguinte:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Vamos calcular o valor absoluto de r:
|r| = | 3-2 | = 32 = 1,5

Passo 5

Como |r| = 1,5, que é maior que 1, segundo a regra das séries geométricas, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos não se aproxima de um valor finito.

Resposta

A série geométrica sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n é divergente.

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