Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Vamos analisar a série geométrica dada: . Nosso objetivo é determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular a soma. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries geométricas e suas condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para identificar claramente a razão e o termo inicial. Observe que:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.
No nosso caso:

Passo 4

Para saber se a série geométrica converge ou diverge, usamos a regra seguinte:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Vamos calcular o valor absoluto de :

Passo 5

Como , que é maior que 1, segundo a regra das séries geométricas, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos não se aproxima de um valor finito.

Resposta

A série geométrica é divergente.

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Resolva as equaçőes:
Em cada um dos casos abaixo (i) determine o gradiente de , (ii) calcule o gradiente no ponto , (iii) determine a taxa de variação de em na direção do vetor u.
(d)
Derive de forma implícita para encontrar .
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.