Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos analisar a série geométrica dada: . Nosso objetivo é determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular a soma. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries geométricas e suas condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para identificar claramente a razão e o termo inicial. Observe que:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão da série.
No nosso caso:
Passo 4
Para saber se a série geométrica converge ou diverge, usamos a regra seguinte:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Vamos calcular o valor absoluto de :
Passo 5
Como , que é maior que 1, segundo a regra das séries geométricas, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos não se aproxima de um valor finito.