Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + 5/6 + 6/7 + ...

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série . O conteúdo aqui é sobre séries, especificamente sobre como determinar se uma série é convergente ou divergente, e, se for o caso, calcular sua soma. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a série de forma mais geral. Observando os termos, percebemos que o enésimo termo da série é . Então, podemos escrever a série assim:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o termo geral . Podemos reescrever isso da seguinte maneira:

Passo 4

Substituindo essa expressão na série original, ficamos com:

Passo 5

Vamos analisar as duas séries resultantes separadamente. A primeira série é:
Essa é uma série onde estamos somando 1 infinitas vezes, o que claramente leva a um valor infinito. Portanto, essa parte da série diverge.

Passo 6

A segunda série é:
Essa é uma série harmônica, que é conhecida por ser divergente. Ou seja, também tende ao infinito.

Resposta

Como ambas as séries que compõem a série original divergem, concluímos que a série é divergente.

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