Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série
. O conteúdo aqui é sobre séries, especificamente sobre como determinar se uma série é convergente ou divergente, e, se for o caso, calcular sua soma. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a série de forma mais geral. Observando os termos, percebemos que o enésimo termo da série é
. Então, podemos escrever a série assim:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o termo geral
. Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Passo 4
Substituindo essa expressão na série original, ficamos com:
Passo 5
Vamos analisar as duas séries resultantes separadamente. A primeira série é:
Essa é uma série onde estamos somando 1 infinitas vezes, o que claramente leva a um valor infinito. Portanto, essa parte da série diverge.
Passo 6
A segunda série é:
Essa é uma série harmônica, que é conhecida por ser divergente. Ou seja, também tende ao infinito.
Resposta
Como ambas as séries que compõem a série original divergem, concluímos que a série
é divergente.
Exercícios relacionados
Em cada um dos casos abaixo (i) determine o gradiente de
, (ii) calcule o gradiente no ponto
, (iii) determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor u.
(d)
(d)