Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano :
O plano é perpendicular ao plano contém os pontos e .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Precisamos encontrar a equação de um plano que satisfaz duas condições:
Perpendicularidade: O plano é perpendicular ao plano dado pela equação .
Contém dois pontos: O plano passa pelos pontos e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores normais. Precisaremos identificar o vetor normal do plano e, em seguida, utilizar a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
onde é o vetor normal ao plano.
O plano dado no exercício é , cujo vetor normal é .
Passo 3
Como o plano é perpendicular ao plano dado, os vetores normais desses dois planos devem ser perpendiculares entre si. Ou seja, o produto escalar entre os vetores normais deve ser zero:
onde é o vetor normal do plano que queremos encontrar.
Passo 4
Além disso, o plano passa pelos pontos e . Podemos encontrar o vetor que une esses dois pontos:
Como está no plano , ele deve ser perpendicular ao vetor normal :
Passo 5
Agora temos duas equações com as incógnitas , e :
(do produto escalar )
(do produto escalar )
Isso forma um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar , e .
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Podemos resolver a primeira equação para :
Substituindo esse valor na segunda equação:
Então, temos e .
Podemos escolher para simplificar (já que qualquer múltiplo funcionaria):
Portanto, o vetor normal .
Passo 7
Agora que temos o vetor normal, podemos usar um dos pontos dados para escrever a equação do plano . Vamos usar o ponto .