Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano pi :
O plano pi é perpendicular ao plano x+3 y-z=7 e contém os pontos A=(2,0,5) e B=(0,2,-1).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Precisamos encontrar a equação de um plano pi que satisfaz duas condições:
  1. Perpendicularidade: O plano pi é perpendicular ao plano dado pela equação x + 3y - z = 7.
  2. Contém dois pontos: O plano pi passa pelos pontos A = (2, 0, 5) e B = (0, 2, -1).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores normais. Precisaremos identificar o vetor normal do plano pi e, em seguida, utilizar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
a x + b y + c z + d = 0
onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano.
O plano dado no exercício é x + 3y - z = 7, cujo vetor normal é n1 = (1, 3, -1).

Passo 3

Como o plano pi é perpendicular ao plano dado, os vetores normais desses dois planos devem ser perpendiculares entre si. Ou seja, o produto escalar entre os vetores normais deve ser zero:
n1 cdot n2 = 0
onde n2 = (a, b, c) é o vetor normal do plano pi que queremos encontrar.

Passo 4

Além disso, o plano pi passa pelos pontos A = (2, 0, 5) e B = (0, 2, -1). Podemos encontrar o vetor que une esses dois pontos:
AB = B - A = (0 - 2, 2 - 0, -1 - 5) = (-2, 2, -6)
Como AB está no plano pi, ele deve ser perpendicular ao vetor normal n2:
AB cdot n2 = 0

Passo 5

Agora temos duas equações com as incógnitas a, b e c:
  1. 1 cdot a + 3 cdot b - 1 cdot c = 0 (do produto escalar n1 cdot n2 = 0)
  2. -2 cdot a + 2 cdot b - 6 cdot c = 0 (do produto escalar AB cdot n2 = 0)
Isso forma um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar a, b e c.

Passo 6

Resolvendo o sistema:
a + 3b - c = 0 -2a + 2b - 6c = 0
Podemos resolver a primeira equação para a:
a = c - 3b
Substituindo esse valor na segunda equação:
-2(c - 3b) + 2b - 6c = 0 -2c + 6b + 2b - 6c = 0 8b - 8c = 0 8b = 8c b = c
Então, temos b = c e a = c - 3b = c - 3c = -2c.
Podemos escolher c = 1 para simplificar (já que qualquer múltiplo funcionaria):
a = -2 b = 1 c = 1
Portanto, o vetor normal n2 = (-2, 1, 1).

Passo 7

Agora que temos o vetor normal, podemos usar um dos pontos dados para escrever a equação do plano pi. Vamos usar o ponto A = (2, 0, 5).
A equação do plano é dada por:
n2 cdot (r - r0) = 0
onde r = (x, y, z) e r0 = (2, 0, 5).
Substituindo os valores:
-2(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z - 5) = 0 -2x + 4 + y + z - 5 = 0 -2x + y + z -1 = 0
Simplificando:
2x - y - z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano pi é:
2x - y - z + 1 = 0

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