Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano :
O plano é perpendicular ao plano contém os pontos e .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Precisamos encontrar a equação de um plano que satisfaz duas condições:
  1. Perpendicularidade: O plano é perpendicular ao plano dado pela equação .
  2. Contém dois pontos: O plano passa pelos pontos e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores normais. Precisaremos identificar o vetor normal do plano e, em seguida, utilizar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
onde é o vetor normal ao plano.
O plano dado no exercício é , cujo vetor normal é .

Passo 3

Como o plano é perpendicular ao plano dado, os vetores normais desses dois planos devem ser perpendiculares entre si. Ou seja, o produto escalar entre os vetores normais deve ser zero:
onde é o vetor normal do plano que queremos encontrar.

Passo 4

Além disso, o plano passa pelos pontos e . Podemos encontrar o vetor que une esses dois pontos:
Como está no plano , ele deve ser perpendicular ao vetor normal :

Passo 5

Agora temos duas equações com as incógnitas , e :
  1. (do produto escalar )
  2. (do produto escalar )
Isso forma um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar , e .

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Podemos resolver a primeira equação para :
Substituindo esse valor na segunda equação:
Então, temos e .
Podemos escolher para simplificar (já que qualquer múltiplo funcionaria):
Portanto, o vetor normal .

Passo 7

Agora que temos o vetor normal, podemos usar um dos pontos dados para escrever a equação do plano . Vamos usar o ponto .
A equação do plano é dada por:
onde e .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Sabendo que , calcule o determinante de e justifique sua resposta.
Obs: Aplique as propriedades de determinantes para obter .
Para cada par de retas e abaixo, encontre , e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas:
e .
Considere os planos e
.
Determine , em cada caso, para que os planos e sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais.