Seja uma base para com B=v1, v2, v3, v4 M2 times 2
v1=(cc 5 & 9 2 & -7 ), e v2=(cc 3 & 2 -8 & -6 ) v3=(cc 8 & 6 -5 & 8 ) v4=(cc 2 & 8 -7 & 6 )
Se é uma transformação linear tal que T: M2 times 2 R^4
c T(v1)=(-4,5,-6,-2), e T(v2)=(-4,7,-8,3) T(v3)=(-9,-5,4,9) T(v4)=(7,8,-9,3)
calcular, onde é um vetor de T(v) v=(cc-5 & -3 -2 & 1) M2 times 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema pede. Aqui, estamos lidando com transformações lineares, especificamente uma transformação que pega matrizes de tamanho e as transforma em vetores no espaço . Temos uma base formada por quatro matrizes , e sabemos como age em cada uma delas. Nosso objetivo é encontrar a imagem da matriz sob a transformação , ou seja, calcular . Para isso, vamos precisar usar a linearidade da transformação e expressar como uma combinação linear das matrizes da base .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a matriz v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + a4 v4 como uma combinação linear das matrizes da base -5 & -3 -2 & 1 = a1 5 & 9 2 & -7 + a2 3 & 2 -8 & -6 + a3 8 & 6 -5 & 8 + a4 2 & 8 -7 & 6 . Isso significa encontrar coeficientes tais que:
Escrevendo isso de forma expandida, temos:

[

a_1
+
a_2
+
a_3
+
a_4
]

Passo 3

Agora, vamos resolver para os coeficientes -5 = 5a1 + 3a2 + 8a3 + 2a4 . Para isso, igualamos cada entrada das matrizes:
  1. Para a posição (1,1):
-3 = 9a1 + 2a2 + 6a3 + 8a4
  1. Para a posição (1,2):
-2 = 2a1 - 8a2 - 5a3 -7a4
  1. Para a posição (2,1):
1 = -7a1 -6a2 +8a3 +6a4
  1. Para a posição (2,2):
5a1 + 3a2 + 8a3 + 2a4 = -5 9a1 + 2a2 + 6a3 + 8a4 = -3 2a1 - 8a2 -5a3 -7a4 = -2 -7a1 -6a2 +8a3 +6a4 = 1
Isso nos dá um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 4

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores dos coeficientes:
a1 = 1, a2 = -1, a3 = 0, a4 = 0
Isso significa que:
v = 1 cdot v1 -1 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4

Resposta

Agora, aplicamos a transformação T(v) = 1 cdot T(v1) -1 cdot T(v2) + 0 cdot T(v3) + 0 cdot T(v4) usando a linearidade:
T(v) = 1 cdot (-4,5,-6,-2) -1 cdot (-4,7,-8,3) + 0 cdot (-9,-5,4,9) + 0 cdot (7,8,-9,3)
Substituindo os valores conhecidos de T(v) = (-4,5,-6,-2) + (4,-7,8,-3) = (0,-2,2,-5) :
T(v) = (0, -2, 2, -5)
Fazendo as operações:
Portanto, a imagem da matriz sob a transformação é:

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