Vamos começar entendendo o que o problema pede. Aqui, estamos lidando com transformações lineares, especificamente uma transformação que pega matrizes de tamanho e as transforma em vetores no espaço . Temos uma base formada por quatro matrizes , e sabemos como age em cada uma delas. Nosso objetivo é encontrar a imagem da matriz sob a transformação , ou seja, calcular . Para isso, vamos precisar usar a linearidade da transformação e expressar como uma combinação linear das matrizes da base .
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a matriz como uma combinação linear das matrizes da base . Isso significa encontrar coeficientes tais que:
Escrevendo isso de forma expandida, temos:
[
a_1
+
a_2
+
a_3
+
a_4
]
Passo 3
Agora, vamos resolver para os coeficientes. Para isso, igualamos cada entrada das matrizes:
Para a posição (1,1):
Para a posição (1,2):
Para a posição (2,1):
Para a posição (2,2):
Isso nos dá um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .
Passo 4
Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores dos coeficientes: