Considere os planos alpha: x-y+z-3=0 e
beta: 2 m^2 x-(m+1) y+2 z=0.
Determine m, em cada caso, para que os planos alpha e beta sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos, alpha: x - y + z - 3 = 0 e beta: 2m^2x - (m + 1)y + 2z = 0 , definidos pelas equações:
O objetivo é encontrar o valor de para que os planos e sejam:
  1. Paralelos: planos que nunca se encontram.
  2. Concorrentes: planos que se intersectam ao longo de uma reta.
  3. Concorrentes Ortogonais: planos que se intersectam formando um ângulo de 90 graus.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre vetores normais aos planos e as condições de paralelismo e perpendicularidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos nalpha = (1, -1, 1) e nbeta = (2m^2, -(m + 1), 2) . O vetor normal de um plano é dado por .
Então, temos:

Passo 3

Para os planos serem paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais, ou seja, existir um escalar nbeta = k cdot nalpha tal que:
2m^2 = k cdot 1 Rightarrow 2m^2 = k
Isso resulta no sistema de proporções:
-(m + 1) = k cdot (-1) Rightarrow -(m + 1) = -k Rightarrow m + 1 = k
2 = k cdot 1 Rightarrow 2 = k

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, m + 1 = 2 Rightarrow m = 1 . Substituindo na segunda equação:
2m^2 = 2 Rightarrow m^2 = 1 Rightarrow m = pm1
Verificando na primeira equação:
Como satisfaz todas as equações, descartamos .

Passo 5

Para os planos serem concorrentes, ou seja, se intersectarem ao longo de uma reta, os vetores normais não devem ser proporcionais. Portanto, o valor de que não satisfaça a condição de paralelismo ( ) fará com que os planos sejam concorrentes.

Passo 6

Para os planos serem concorrentes e ortogonais, os vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero:
nalpha cdot nbeta = 0
Calculando o produto escalar:
1 cdot 2m^2 + (-1) cdot (-(m + 1)) + 1 cdot 2 = 0
2m^2 + (m + 1) + 2 = 0
2m^2 + m + 3 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática De:
Calculamos o discriminante ( ):
Como , não há soluções reais para . Portanto, não existe valor real de que torne os planos concorrentes e ortogonais.

Resposta

  • Para os planos e serem paralelos, .
  • Para os planos serem concorrentes, pode ser qualquer valor exceto .
  • Não existe valor real de que torne os planos concorrentes ortogonais.

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