Considere os planos e .
Determine , em cada caso, para que os planos e sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos, e , definidos pelas equações:
O objetivo é encontrar o valor de para que os planos e sejam:
Paralelos: planos que nunca se encontram.
Concorrentes: planos que se intersectam ao longo de uma reta.
Concorrentes Ortogonais: planos que se intersectam formando um ângulo de 90 graus.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre vetores normais aos planos e as condições de paralelismo e perpendicularidade entre eles.
Passo 2
Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano é dado por .
Então, temos:
Passo 3
Para os planos serem paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais, ou seja, existir um escalar tal que:
Isso resulta no sistema de proporções:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda equação:
Verificando na primeira equação:
Como satisfaz todas as equações, descartamos .
Passo 5
Para os planos serem concorrentes, ou seja, se intersectarem ao longo de uma reta, os vetores normais não devem ser proporcionais. Portanto, o valor de que não satisfaça a condição de paralelismo () fará com que os planos sejam concorrentes.
Passo 6
Para os planos serem concorrentes e ortogonais, os vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática :
Calculamos o discriminante ():
Como , não há soluções reais para . Portanto, não existe valor real de que torne os planos concorrentes e ortogonais.
Resposta
Para os planos e serem paralelos, .
Para os planos serem concorrentes, pode ser qualquer valor exceto .
Não existe valor real de que torne os planos concorrentes ortogonais.