Considere os planos e
.
Determine , em cada caso, para que os planos e sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos, e , definidos pelas equações:
O objetivo é encontrar o valor de para que os planos e sejam:
  1. Paralelos: planos que nunca se encontram.
  2. Concorrentes: planos que se intersectam ao longo de uma reta.
  3. Concorrentes Ortogonais: planos que se intersectam formando um ângulo de 90 graus.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre vetores normais aos planos e as condições de paralelismo e perpendicularidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano é dado por .
Então, temos:

Passo 3

Para os planos serem paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais, ou seja, existir um escalar tal que:
Isso resulta no sistema de proporções:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda equação:
Verificando na primeira equação:
Como satisfaz todas as equações, descartamos .

Passo 5

Para os planos serem concorrentes, ou seja, se intersectarem ao longo de uma reta, os vetores normais não devem ser proporcionais. Portanto, o valor de que não satisfaça a condição de paralelismo ( ) fará com que os planos sejam concorrentes.

Passo 6

Para os planos serem concorrentes e ortogonais, os vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Calculando o produto escalar:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática :
Calculamos o discriminante ( ):
Como , não há soluções reais para . Portanto, não existe valor real de que torne os planos concorrentes e ortogonais.

Resposta

  • Para os planos e serem paralelos, .
  • Para os planos serem concorrentes, pode ser qualquer valor exceto .
  • Não existe valor real de que torne os planos concorrentes ortogonais.

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano :
O plano é perpendicular ao plano contém os pontos e .
Obtenha as soluções do sistema abaixo, por eliminação de GaussJordan :
Considere as matrizes A e b abaixo:
Resolva o sistema de equações lineares , utilizando o método de Gauss-Jordan.