Considere os planos
e
.
Determine
, em cada caso, para que os planos
e
sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais.
Determine
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos,
e
, definidos pelas equações:
O objetivo é encontrar o valor de
para que os planos
e
sejam:
- Paralelos: planos que nunca se encontram.
- Concorrentes: planos que se intersectam ao longo de uma reta.
- Concorrentes Ortogonais: planos que se intersectam formando um ângulo de 90 graus.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre vetores normais aos planos e as condições de paralelismo e perpendicularidade entre eles.
Passo 2
Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos
e
. O vetor normal de um plano
é dado por
.
Então, temos:
Passo 3
Para os planos serem paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais, ou seja, existir um escalar
tal que:
Isso resulta no sistema de proporções:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação,
. Substituindo na segunda equação:
Verificando na primeira equação:
Como
satisfaz todas as equações, descartamos
.
Passo 5
Para os planos serem concorrentes, ou seja, se intersectarem ao longo de uma reta, os vetores normais não devem ser proporcionais. Portanto, o valor de
que não satisfaça a condição de paralelismo (
) fará com que os planos sejam concorrentes.
Passo 6
Para os planos serem concorrentes e ortogonais, os vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
:
Calculamos o discriminante (
):
Como
, não há soluções reais para
. Portanto, não existe valor real de
que torne os planos concorrentes e ortogonais.
Resposta
- Para os planos
e serem paralelos, . - Para os planos serem concorrentes,
pode ser qualquer valor exceto . - Não existe valor real de
que torne os planos concorrentes ortogonais.