Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano pi :
O plano pi é perpendicular a cada um dos planos
& x-y-2 z=0 e 2 x+y-4 z-5=0 e contém o ponto & A=(4,0,-2) é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano pi que é perpendicular a dois outros planos dados e que passa por um ponto específico, o A=(4,0,-2). Para isso, vamos usar conceitos de vetores normais e produtos vetoriais na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos que são dados. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz + D = 0, onde o vetor normal é (A, B, C).
  • Para o primeiro plano x - y - 2z = 0, o vetor normal é n1 = (1, -1, -2).
  • Para o segundo plano 2x + y - 4z - 5 = 0, o vetor normal é n2 = (2, 1, -4).

Passo 3

Como o plano pi é perpendicular a ambos os planos dados, o vetor normal de pi precisa ser perpendicular aos vetores normais n1 e . Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores, a gente usa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial entre n1 e n2:
npi = n1 times n2 = i & j & k 1 & -1 & -2 2 & 1 & -4
Calculando o determinante:
npi = i cdot [(-1)(-4) - (-2)(1)] - j cdot [(1)(-4) - (-2)(2)] + k cdot [(1)(1) - (-1)(2)]
npi = i cdot (4 + 2) - j cdot (-4 + 4) + k cdot (1 + 2)
npi = 6i - 0j + 3k
Então, o vetor normal de pi é npi = (6, 0, 3).

Passo 5

Agora que temos o vetor normal da pi, podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto que pertence ao plano, que no caso é A=(4,0,-2).

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
6(x - 4) + 0(y - 0) + 3(z + 2) = 0
Simplificando:
6x - 24 + 0y + 3z + 6 = 0
6x + 3z - 18 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
2x + z - 6 = 0

Resposta

A equação do plano pi é 2x + z - 6 = 0.

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