Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano :
O plano é perpendicular a cada um dos planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano que é perpendicular a dois outros planos dados e que passa por um ponto específico, o . Para isso, vamos usar conceitos de vetores normais e produtos vetoriais na geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos que são dados. A equação geral de um plano é , onde o vetor normal é .
Para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .
Passo 3
Como o plano é perpendicular a ambos os planos dados, o vetor normal de precisa ser perpendicular aos vetores normais e . Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores, a gente usa o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
npi = i cdot [(-1)(-4) - (-2)(1)] - j cdot [(1)(-4) - (-2)(2)] + k cdot [(1)(1) - (-1)(2)]
npi = i cdot (4 + 2) - j cdot (-4 + 4) + k cdot (1 + 2)
npi = 6i - 0j + 3k
Então, o vetor normal de pi é npi = (6, 0, 3).
Passo 5
Agora que temos o vetor normal da pi, podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto que pertence ao plano, que no caso é A=(4,0,-2).
Passo 6
Substituindo os valores na equação:
6(x - 4) + 0(y - 0) + 3(z + 2) = 0
Simplificando:
6x - 24 + 0y + 3z + 6 = 0
6x + 3z - 18 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3: