Mostre que: (A+B^t)^t=A^t+B ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que (A + B^t)^t = A^t + B. O conteúdo aqui é sobre transposição de matrizes, que faz parte da álgebra linear. Para isso, vamos precisar entender o que é a matriz transposta e como ela se comporta quando aplicamos operações como soma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz M, denotada por M^t, é obtida trocando suas linhas por colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição (i, j) passa para a posição (j, i).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transposição na soma de A e B^t. Usamos a propriedade que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas das matrizes. Formalmente, para quaisquer matrizes X e Y, temos:
(X + Y)^t = X^t + Y^t
Aplicando isso ao nosso caso, onde X = A e Y = B^t, temos:
(A + B^t)^t = A^t + (B^t)^t

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que a transposição aplicada duas vezes retorna à matriz original. Isso significa que:
(B^t)^t = B
Substituindo isso na equação anterior:
(A + B^t)^t = A^t + B

Resposta

Portanto, mostramos que (A + B^t)^t = A^t + B.

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