Se
éun pluno e
é uma reta contida neste plano, ambos passando pela origem, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subconjuntos no espaço 3D (
):
-
: um plano que passa pela origem. -
: uma reta que está dentro desse plano e também passa pela origem.
A gente precisa mostrar que a soma desses dois conjuntos,
, é igual ao próprio plano
. Para isso, vamos precisar saber o que significa a soma de subespaços e algumas propriedades básicas de planos e linhas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços vetoriais. Se tivermos dois subespaços
e
, a soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, como
é uma reta contida em
, todo vetor em
já está em
. Ou seja, se você pegar qualquer vetor
, então
.
Passo 4
Então, quando formamos a soma
, estamos pegando vetores de
e somando com vetores de
. Mas já que
está dentro de
, essa soma não acrescenta nada de novo a
. Basicamente, estamos somando vetores que já estão no plano
.
Passo 5
Para deixar mais claro, qualquer vetor na soma
pode ser escrito como
, onde
e
. Mas como
já está em
, a soma
também está em
. Portanto,
.
Passo 6
Além disso, todo vetor em
pode ser visto como
, onde
e
é o vetor zero em
. Isso significa que
.
Passo 7
Como temos que
e
, concluímos que:
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
e
, d,
a) i subupaco de
?
a)
Mostre que a matriz
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
e
Mostre que o vetor
não é combinação linear dos vetores
e
.
Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano
:
O plano é perpendicular a cada um dos planos
O plano