Se éun pluno e é uma reta contida neste plano, ambos passando pela origem, mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subconjuntos no espaço 3D ( ):
  • : um plano que passa pela origem.
  • : uma reta que está dentro desse plano e também passa pela origem.
A gente precisa mostrar que a soma desses dois conjuntos, , é igual ao próprio plano . Para isso, vamos precisar saber o que significa a soma de subespaços e algumas propriedades básicas de planos e linhas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços vetoriais. Se tivermos dois subespaços e , a soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, como é uma reta contida em , todo vetor em já está em . Ou seja, se você pegar qualquer vetor , então .

Passo 4

Então, quando formamos a soma , estamos pegando vetores de e somando com vetores de . Mas já que está dentro de , essa soma não acrescenta nada de novo a . Basicamente, estamos somando vetores que já estão no plano .

Passo 5

Para deixar mais claro, qualquer vetor na soma pode ser escrito como , onde e . Mas como já está em , a soma também está em . Portanto, .

Passo 6

Além disso, todo vetor em pode ser visto como , onde e é o vetor zero em . Isso significa que .

Passo 7

Como temos que e , concluímos que:

Resposta

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Sejam e , d,
a) i subupaco de ?
Mostre que a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes e
Mostre que o vetor não é combinação linear dos vetores e .
Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano :
O plano é perpendicular a cada um dos planos
é