Mostre que o vetor v=(1,2,2) não é combinação linear dos vetores v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1).

Passo 1

Então, a gente tem o vetor e queremos mostrar que ele não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Dizemos que a cdot v1 + b cdot v2 = v é uma combinação linear de a cdot (1, 1, 2) + b cdot (1, 2, 1) = (1, 2, 2) e se existirem números e tais que:
Isso quer dizer que:

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação:
(a cdot 1 + b cdot 1, ; a cdot 1 + b cdot 2, ; a cdot 2 + b cdot 1) = (1, 2, 2)
O que nos dá o sistema de equações:
a + b = 1 a + 2b = 2 2a + b = 2

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação:
a + b = 1 Rightarrow a = 1 - b
Agora, substituímos (1 - b) + 2b = 2 Rightarrow 1 + b = 2 Rightarrow b = 1 na segunda equação:
Então, .

Passo 5

Com os valores encontrados, vamos verificar na terceira equação:
2a + b = 2 Rightarrow 2(0) + 1 = 1 neq 2
A igualdade não é satisfeita, o que indica que não existe um par que resolva todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Portanto, o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .

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