Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano pi :
Tem-se que C=(-5,1,2) in pi e que pi é perpendicular à reta que passa pelos pontos A=(2,2,-4) e B=(7,-1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano usando um ponto e um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor que descreva a direção da reta que passa por v = lang<= x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 rang<= e v = lang<= 7 - 2, -1 - 2, 3 - (-4) rang<= = lang<= 5, -3, 7 rang<= . Esse vetor será o vetor diretor da reta.
A fórmula para encontrar o vetor diretor entre dois pontos e é:
Aplicando os pontos dados:

Passo 3

Como o plano n = lang<= 5, -3, 7 rang<= é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta será normal ao plano. Então, o vetor normal do plano é igual ao vetor :

Passo 4

Agora, usamos a equação geral de um plano que passa por um ponto a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e tem um vetor normal 5(x - (-5)) + (-3)(y - 1) + 7(z - 2) = 0 :
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
5(x + 5) - 3(y - 1) + 7(z - 2) = 0
Distribuindo os termos:
5x + 25 - 3y + 3 + 7z - 14 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
5x - 3y + 7z + 25 + 3 - 14 = 0
5x - 3y + 7z + 14 = 0

Resposta

A equação do plano 5x - 3y + 7z + 14 = 0 é:

Exercícios relacionados