Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de escalonamento de Gauss 2 x+y+2 z & =2 -x+y-z & =2 -2 x+5 y+3 z & =5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento de Gauss. Isso faz parte da matéria de álgebra linear. Para isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e manipular as linhas para chegar a uma forma mais simples, facilitando encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
2 & 1 & 2 & | & 2 -1 & 1 & -1 & | & 2 -2 & 5 & 3 & | & 5

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos são zero. Vamos começar eliminando o Linha 2 = Linha 2 + (12 times Linha 1) das linhas 2 e 3.
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o 2 & 1 & 2 & | & 2 0 & 1.5 & 0 & | & 3 -2 & 5 & 3 & | & 5 da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por e somamos à segunda linha:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 da terceira linha. Para isso, somamos a primeira linha à terceira linha:
2 & 1 & 2 & | & 2 0 & 1.5 & 0 & | & 3 0 & 6 & 5 & | & 7
Isso fica:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 1.5 para tornar o coeficiente de Linha 2 = 11.5 times Linha 2 = (0, 1, 0, |, 2) igual a 1:
2 & 1 & 2 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 6 & 5 & | & 7
Nossa matriz agora fica:

Passo 6

Com o Linha 3 = Linha 3 - 6 times Linha 2 já isolado na segunda linha, vamos usar essa linha para eliminar o Linha 3 = (0, 6, 5, |, 7) - (0, 6, 0, |, 12) = (0, 0, 5, |, -5) da terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 6 e subtraímos da terceira linha:
2 & 1 & 2 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 5 & | & -5
Calculando:
Agora, a matriz está assim:

Passo 7

Agora, vamos resolver de baixo para cima. A terceira linha nos dá:
5z = -5 implies z = -1

Passo 8

Substituindo y = 2 na segunda linha:

Passo 9

Finalmente, substituímos 2x + 2 + 2(-1) = 2 implies 2x + 2 - 2 = 2 implies 2x = 2 implies x = 1 e na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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