Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de escalonamento de Gauss
Passo 1
Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método de escalonamento de Gauss. O sistema que temos é:
2x + y + 2z = 3 - x + y + 3z = -4 -2x + 5y - z = 2
Para resolver esse sistema, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar a uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Vamos começar a escalonar a matriz para facilitar a resolução. Nosso objetivo é ter 1 na posição Linha 1: 12 times [2 1 2 | 3] = [1 0.5 1 | 1.5] e zeros abaixo dela.
Normalizar a primeira linha: Dividimos a primeira linha por 2 para que o primeiro elemento seja 1.
Agora, vamos eliminar o termo de Linha 2 = Linha 2 + 1 times Linha 1 [-1 + 1 1 + 0.5 3 + 1 | -4 + 1.5] = [0 1.5 4 | -2.5] nas segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Eliminar Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1 [-2 + 2 5 + 2 times 0.5 -1 + 2 times 1 | 2 + 2 times 1.5] = [0 6 1 | 5] da segunda linha:
Agora que a matriz está em forma triangular, podemos resolver pelas incógnitas de baixo para cima.
Resolver para -15z = 15 Rightarrow z = -1 da terceira linha:
y + 83z = -53 Rightarrow y + 83(-1) = -53 Rightarrow y - 83 = -53 Rightarrow y = -53 + 83 Rightarrow y = 1
Resolver para x + 0.5y + z = 1.5 Rightarrow x + 0.5(1) + (-1) = 1.5 Rightarrow x + 0.5 - 1 = 1.5 Rightarrow x - 0.5 = 1.5 Rightarrow x = 2 usando a segunda linha: