Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de escalonamento de Gauss 2 x+y+2 z & =3 -x+y+3 z & =-4 -2 x+5 y-z & =2

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método de escalonamento de Gauss. O sistema que temos é:
2x + y + 2z = 3 - x + y + 3z = -4 -2x + 5y - z = 2
Para resolver esse sistema, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar a uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
2 & 1 & 2 & | & 3 -1 & 1 & 3 & | & -4 -2 & 5 & -1 & | & 2

Passo 3

Vamos começar a escalonar a matriz para facilitar a resolução. Nosso objetivo é ter 1 na posição Linha 1: 12 times [2 1 2 | 3] = [1 0.5 1 | 1.5] e zeros abaixo dela.
  1. Normalizar a primeira linha: Dividimos a primeira linha por 2 para que o primeiro elemento seja 1.
1 & 0.5 & 1 & | & 1.5 -1 & 1 & 3 & | & -4 -2 & 5 & -1 & | & 2
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o termo de Linha 2 = Linha 2 + 1 times Linha 1 [-1 + 1 1 + 0.5 3 + 1 | -4 + 1.5] = [0 1.5 4 | -2.5] nas segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
  1. Eliminar Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1 [-2 + 2 5 + 2 times 0.5 -1 + 2 times 1 | 2 + 2 times 1.5] = [0 6 1 | 5] da segunda linha:
1 & 0.5 & 1 & | & 1.5 0 & 1.5 & 4 & | & -2.5 0 & 6 & 1 & | & 5
  1. Eliminar da terceira linha:
A matriz atualizada é:

Passo 5

Vamos continuar o escalonamento, agora focando na segunda coluna.
  1. Normalizar a segunda linha: Dividimos a segunda linha por 1.5 para que o segundo elemento seja 1.
Linha 2: 11.5 times [0 1.5 4 | -2.5] = [0 1 83 | -53]
A matriz fica:
1 & 0.5 & 1 & | & 1.5 0 & 1 & 83 & | & -53 0 & 6 & 1 & | & 5
  1. Eliminar Linha 3 = Linha 3 - 6 times Linha 2 [0 6 - 6 times 1 1 - 6 times 83 | 5 - 6 times (-53)] = [0 0 -15 | 15] da terceira linha:
1 & 0.5 & 1 & | & 1.5 0 & 1 & 83 & | & -53 0 & 0 & -15 & | & 15
A matriz atualizada é:

Passo 6

Agora que a matriz está em forma triangular, podemos resolver pelas incógnitas de baixo para cima.
  1. Resolver para -15z = 15 Rightarrow z = -1 da terceira linha:
y + 83z = -53 Rightarrow y + 83(-1) = -53 Rightarrow y - 83 = -53 Rightarrow y = -53 + 83 Rightarrow y = 1
  1. Resolver para x + 0.5y + z = 1.5 Rightarrow x + 0.5(1) + (-1) = 1.5 Rightarrow x + 0.5 - 1 = 1.5 Rightarrow x - 0.5 = 1.5 Rightarrow x = 2 usando a segunda linha:
  1. Resolver para usando a primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 2, y = 1, z = -1

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