Responda aos seguintes itens:
Sejam a reta r : x-1=y=z e os pontos A=(1,1,1) e B=(0,0,1)
Encontre o ponto de r equidistante de A e B.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar um ponto na reta que está equidistante dos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de distância entre pontos no espaço tridimensional e parametrizar a reta .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta x = t + 1 : z = t . Isso significa que podemos expressar , e em termos de um parâmetro . Vamos escolher , então:
Portanto, qualquer ponto na reta pode ser representado como .

Passo 3

Agora, queremos que a distância entre d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e seja igual à distância entre e . Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:

Passo 4

Calculando a distância entre d(P, A) = raiz(t + 1 - 1)^2 + (t - 1)^2 + (t - 1)^2 = raizt^2 + (t - 1)^2 + (t - 1)^2 e d(P, A) = raizt^2 + (t^2 - 2t + 1) + (t^2 - 2t + 1) = raiz3t^2 - 4t + 2 :
Simplificando:

Passo 5

Calculando a distância entre d(P, B) = raiz(t + 1 - 0)^2 + (t - 0)^2 + (t - 1)^2 = raiz(t + 1)^2 + t^2 + (t - 1)^2 e d(P, B) = raiz(t^2 + 2t + 1) + t^2 + (t^2 - 2t + 1) = raiz3t^2 + 2 :
Simplificando:

Passo 6

Para que raiz3t^2 - 4t + 2 = raiz3t^2 + 2 seja equidistante de 3t^2 - 4t + 2 = 3t^2 + 2 e , as duas distâncias devem ser iguais:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Simplificando a equação:
3t^2 - 4t + 2 = 3t^2 + 2
Subtraindo -4t = 0 de ambos os lados:
t = 0
Dividindo por -4:

Resposta

O ponto na reta que é equidistante de e é .

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