Responda aos seguintes itens:
Dados o plano
e o ponto
.
Encontre o ponto
que é simétrico a
em relação ao plano dado.
Dados o plano
Encontre o ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano definido pela equação
e um ponto
. O objetivo é encontrar o ponto
que é simétrico a
em relação a esse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem simétrica de um ponto em relação a um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a distância do ponto
ao plano dado. A fórmula para a distância de um ponto
a um plano
é:
No nosso caso, a equação do plano é
, então
,
,
e
. Vamos substituir os valores de
na fórmula.
Passo 3
Calculando a distância
:
Essa é a distância do ponto
ao plano.
Passo 4
Agora, para encontrar o ponto simétrico
, precisamos mover o ponto
na direção normal ao plano, dobrando a distância
. A direção normal ao plano é dada pelo vetor dos coeficientes de
,
e
na equação do plano, ou seja,
.
Primeiro, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1:
Passo 5
Agora, multiplicamos o vetor unitário
pela distância
para obter o deslocamento necessário:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o ponto simétrico
, adicionamos esse deslocamento ao ponto
:
Resposta
O ponto
simétrico a
em relação ao plano
é
.