Responda aos seguintes itens:
Dados o plano e o ponto .
Encontre o ponto que é simétrico a em relação ao plano dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano definido pela equação e um ponto . O objetivo é encontrar o ponto que é simétrico a em relação a esse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem simétrica de um ponto em relação a um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a distância do ponto ao plano dado. A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
No nosso caso, a equação do plano é , então , , e . Vamos substituir os valores de na fórmula.

Passo 3

Calculando a distância :
Essa é a distância do ponto ao plano.

Passo 4

Agora, para encontrar o ponto simétrico , precisamos mover o ponto na direção normal ao plano, dobrando a distância . A direção normal ao plano é dada pelo vetor dos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Primeiro, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1:

Passo 5

Agora, multiplicamos o vetor unitário pela distância para obter o deslocamento necessário:

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ponto simétrico , adicionamos esse deslocamento ao ponto :

Resposta

O ponto simétrico a em relação ao plano é .

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de escalonamento de Gauss
Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano :
Tem-se que e que é perpendicular à reta que passa pelos pontos e .
Resolver as equações:
Sejam um ponto no espaço e a reta . Para cada par, não nulo, de números reais , considere o plano . Mostre que se, e somente se, , para todo par não nulo .