Responda aos seguintes itens:
Dados o plano x-y+z=1 e o ponto P=(1,0,1).
Encontre o ponto Q que é simétrico a P em relação ao plano dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano definido pela equação e um ponto . O objetivo é encontrar o ponto que é simétrico a em relação a esse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem simétrica de um ponto em relação a um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a distância do ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 ao plano dado. A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
No nosso caso, a equação do plano é , então , , e . Vamos substituir os valores de na fórmula.

Passo 3

Calculando a distância d = |1 cdot 1 + (-1) cdot 0 + 1 cdot 1 - 1|raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = |1 + 0 + 1 - 1|raiz1 + 1 + 1 = 1raiz3 :
Essa é a distância do ponto ao plano.

Passo 4

Agora, para encontrar o ponto simétrico u = n|n| = (1, -1, 1)raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = (1, -1, 1)raiz3 , precisamos mover o ponto na direção normal ao plano, dobrando a distância . A direção normal ao plano é dada pelo vetor dos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Primeiro, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1:

Passo 5

Agora, multiplicamos o vetor unitário 2d cdot u = 2 cdot 1raiz3 cdot (1, -1, 1)raiz3 = 23 cdot (1, -1, 1) = ( 23, -23, 23 ) pela distância para obter o deslocamento necessário:

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ponto simétrico Q = P + 2d cdot u = (1, 0, 1) + ( 23, -23, 23 ) = (1 + 23, 0 - 23, 1 + 23) = ( 53, -23, 53 ) , adicionamos esse deslocamento ao ponto :

Resposta

O ponto simétrico a em relação ao plano é .

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