Responda aos seguintes itens:
Dados o plano e o ponto .
Encontre o ponto que é simétrico a em relação ao plano dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano definido pela equação e um ponto . O objetivo é encontrar o ponto que é simétrico a em relação a esse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem simétrica de um ponto em relação a um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a distância do ponto ao plano dado. A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
No nosso caso, a equação do plano é , então , , e . Vamos substituir os valores de na fórmula.
Passo 3
Calculando a distância :
Essa é a distância do ponto ao plano.
Passo 4
Agora, para encontrar o ponto simétrico , precisamos mover o ponto na direção normal ao plano, dobrando a distância . A direção normal ao plano é dada pelo vetor dos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Primeiro, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1:
Passo 5
Agora, multiplicamos o vetor unitário pela distância para obter o deslocamento necessário:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o ponto simétrico , adicionamos esse deslocamento ao ponto :