Sejam S1=(x, y, 0) ; x, y in R, S2=(z, z, z) ; z in R. Mostre que S1 e S2 são subespaços de R^3 e que R^3=S1 oplus S2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que os conjuntos e são subespaços de e que pode ser escrito como a soma direta desses subespaços, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais e soma direta de subespaços. Vamos passo a passo para não perder nada!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um subespaço de . Para isso, precisamos checar três coisas:
  1. O vetor zero está em ?
  2. é fechado sob adição? Ou seja, se pegarmos dois vetores em e somarmos, o resultado também está em ?
  3. é fechado sob multiplicação por escalar? Se multiplicarmos um vetor de por qualquer número real, o resultado ainda está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Vetor zero em :
O vetor zero em é . Observando a definição de , temos que . Então, . Essa condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u = (x1, y1, 0) :
v = (x2, y2, 0)
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)
Somando-os:
Como o terceiro componente é zero, . Então, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em u = (x, y, 0) :
c cdot u = (c x, c y, c cdot 0) = (c x, c y, 0)
E um escalar . Multiplicando:
O terceiro componente ainda é zero, então . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço de .

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para . Precisamos verificar:
  1. O vetor zero está em ?
  2. é fechado sob adição?
  3. é fechado sob multiplicação por escalar?

Passo 8

1. Vetor zero em (0, 0, 0) in S2 :
O vetor zero é . Na definição de , temos :
Condição satisfeita.

Passo 9

2. Fechamento sob adição:
Pegamos dois vetores em u = (z1, z1, z1) :
v = (z2, z2, z2)
u + v = (z1 + z2, z1 + z2, z1 + z2) = (z, z, z)
Somando:
onde . Assim, . Então, é fechado sob adição.

Passo 10

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor em u = (z, z, z) :
c cdot u = (c z, c z, c z) = (c z, c z, c z)
E um escalar . Multiplicando:
Isso ainda tem a forma com , então . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 11

Como também satisfaz todas as três condições, podemos concluir que é um subespaço de .

Passo 12

Agora, precisamos mostrar que é a soma direta de e , ou seja, . Para isso, devemos verificar duas coisas:
  1. Todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
  2. A interseção de e é apenas o vetor zero.

Passo 13

1. Qualquer vetor em u = (x, y, 0) é na soma de w = (z, z, z) e u + w = (x + z, y + z, 0 + z) = (x + z, y + z, z) :
Vamos pegar um vetor qualquer x + z = a y + z = b z = c em x + c = a Rightarrow x = a - c y + c = b Rightarrow y = b - c e tentar expressá-lo como u = (a - c, b - c, 0) in S1 , onde w = (c, c, c) in S2 e u + w = (a - c + c, b - c + c, 0 + c) = (a, b, c) = v .
Sabemos que:
Então:
Queremos que isso seja igual a . Então, temos o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo nas primeiras:
Então, podemos escolher:
E:
Portanto, todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .

Passo 14

2. Interseção de v = (x, y, 0) e v = (z, z, z) é apenas o vetor zero:
Queremos mostrar que se um vetor está em x = z y = z 0 = z e em , então ele deve ser o vetor zero.
Se , então:
e
Igualando as componentes:
Da última equação, . Então, , ou seja, . Portanto, a interseção é apenas o vetor zero.

Passo 15

Como verificamos que qualquer vetor em pode ser expresso como a soma de um vetor de e um vetor de , e que a única interseção entre e é o vetor zero, concluímos que .

Resposta

Portanto, e são subespaços de e é a soma direta de e , ou seja, .

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