Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que os conjuntos e são subespaços de e que pode ser escrito como a soma direta desses subespaços, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais e soma direta de subespaços. Vamos passo a passo para não perder nada!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é um subespaço de . Para isso, precisamos checar três coisas:
O vetor zero está em ?
é fechado sob adição? Ou seja, se pegarmos dois vetores em e somarmos, o resultado também está em ?
é fechado sob multiplicação por escalar? Se multiplicarmos um vetor de por qualquer número real, o resultado ainda está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Vetor zero em :
O vetor zero em é . Observando a definição de , temos que . Então, . Essa condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
Somando-os:
Como o terceiro componente é zero, . Então, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em :
E um escalar . Multiplicando:
O terceiro componente ainda é zero, então . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço de .
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para . Precisamos verificar:
O vetor zero está em ?
é fechado sob adição?
é fechado sob multiplicação por escalar?
Passo 8
1. Vetor zero em :
O vetor zero é . Na definição de , temos :
Condição satisfeita.
Passo 9
2. Fechamento sob adição:
Pegamos dois vetores em :
Somando:
onde . Assim, . Então, é fechado sob adição.
Passo 10
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor em :
E um escalar . Multiplicando:
Isso ainda tem a forma com , então . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 11
Como também satisfaz todas as três condições, podemos concluir que é um subespaço de .
Passo 12
Agora, precisamos mostrar que é a soma direta de e , ou seja, . Para isso, devemos verificar duas coisas:
Todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
A interseção de e é apenas o vetor zero.
Passo 13
1. Qualquer vetor em é na soma de e :
Vamos pegar um vetor qualquer em e tentar expressá-lo como , onde e .
Sabemos que:
Então:
Queremos que isso seja igual a . Então, temos o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo nas primeiras:
Então, podemos escolher:
E:
Portanto, todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Passo 14
2. Interseção de e é apenas o vetor zero:
Queremos mostrar que se um vetor está em e em , então ele deve ser o vetor zero.
Se , então:
e
Igualando as componentes:
Da última equação, . Então, , ou seja, . Portanto, a interseção é apenas o vetor zero.
Passo 15
Como verificamos que qualquer vetor em pode ser expresso como a soma de um vetor de e um vetor de , e que a única interseção entre e é o vetor zero, concluímos que .
Resposta
Portanto, e são subespaços de e é a soma direta de e , ou seja, .