Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta r :
A reta r passa pelos pontos A=(1,0,1) e B=(2,3,1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre retas no espaço tridimensional. Precisamos encontrar um vetor diretor da reta e utilizar as coordenadas dos pontos dados para montar as equações solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta d = B - A = (2 - 1, , 3 - 0, , 1 - 1) = (1, , 3, , 0) . O vetor diretor pode ser obtido subtraindo as coordenadas dos pontos e .

Passo 3

Com o vetor diretor x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e o ponto x = 1 + 1 cdot t y = 0 + 3 cdot t z = 1 + 0 cdot t , podemos escrever as equações paramétricas da reta x = 1 + t y = 3t z = 1 . As equações paramétricas são dadas por:
onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor diretor .
Substituindo os valores, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações simétricas da reta t = x - 1 t = y3 z = 1 . As equações simétricas são obtidas isolando o parâmetro x - 11 = y3 nas equações paramétricas e igualando-as entre si.
Das equações paramétricas, temos:
Como é constante e igual a 1, a reta está contida no plano . Portanto, as equações simétricas serão:
E o valor de é sempre 1.

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 1 + t y = 3t z = 1 são:
x - 11 = y3 e z = 1
As equações simétricas da reta são:

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