Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta :
A reta é perpendicular ao plano e passa pelo ponto de interseção das retas e dadas por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta . Essa reta tem duas características importantes:
  1. Ela é perpendicular ao plano .
  2. Ela passa pelo ponto de interseção das retas e .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Encontrar o ponto onde as retas e se encontram.
  • Determinar a direção da reta que é perpendicular ao plano dado.
  • Usar essas informações para montar as equações paramétricas e simétricas da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, igualamos as coordenadas das duas retas e resolvemos o sistema de equações.
As equações das retas são:
Vamos igualar , e de e :
Vamos resolver a equação (3):
Agora, substituímos na equação (1):
Com e , encontramos o ponto de interseção substituindo em :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta que é perpendicular ao plano . A direção de uma reta perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano:
Então, a direção da reta é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor direção , podemos montar as equações paramétricas da reta .
As equações paramétricas têm a forma:
Onde é o ponto da reta e é o vetor direção.
Aplicando os valores:

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações simétricas da reta . As equações simétricas são obtidas isolando o parâmetro em cada equação paramétrica e igualando-os.
Das equações paramétricas:
Igualando os parâmetros:
Então, as equações simétricas são:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são:

Exercícios relacionados

Para cada par de retas e abaixo, encontre , e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas:
e .
Considere os planos e
.
Para , encontre a equação da reta interseção entre e .
Resolver o sistema abaixo usando dois métodos - o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan.
Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares (utilizando qualquer método):