Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta :
A reta é perpendicular ao plano e passa pelo ponto de interseção das retas e dadas por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta . Essa reta tem duas características importantes:
Ela é perpendicular ao plano.
Ela passa pelo ponto de interseção das retas e .
Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar o ponto onde as retas e se encontram.
Determinar a direção da reta que é perpendicular ao plano dado.
Usar essas informações para montar as equações paramétricas e simétricas da reta .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, igualamos as coordenadas das duas retas e resolvemos o sistema de equações.
As equações das retas são:
Vamos igualar , e de e :
Vamos resolver a equação (3):
Agora, substituímos na equação (1):
Com e , encontramos o ponto de interseção substituindo em :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção da reta que é perpendicular ao plano . A direção de uma reta perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano:
Então, a direção da reta é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor direção , podemos montar as equações paramétricas da reta .
As equações paramétricas têm a forma:
Onde é o ponto da reta e é o vetor direção.
Aplicando os valores:
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações simétricas da reta . As equações simétricas são obtidas isolando o parâmetro em cada equação paramétrica e igualando-os.