Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta r :
A reta r é perpendicular ao plano 2 x-y+2 z=4 e passa pelo ponto de interseção das retas l1 e l2 dadas por
l1:c x=t y=2+t z=1+t , t in R e l2:c x=-1+2 s y=1+s z=0 , s in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta . Essa reta tem duas características importantes:
  1. Ela é perpendicular ao plano .
  2. Ela passa pelo ponto de interseção das retas e .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Encontrar o ponto onde as retas e se encontram.
  • Determinar a direção da reta que é perpendicular ao plano dado.
  • Usar essas informações para montar as equações paramétricas e simétricas da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas l1: x = t y = 2 + t z = 1 + t e l2: x = -1 + 2s y = 1 + s z = 0 . Para isso, igualamos as coordenadas das duas retas e resolvemos o sistema de equações.
As equações das retas são:
t = -1 + 2s (1)
2 + t = 1 + s (2)
Vamos igualar 1 + t = 0 (3) , 1 + t = 0 implies t = -1 e -1 = -1 + 2s implies 0 = 2s implies s = 0 de x = -1 y = 2 + (-1) = 1 z = 1 + (-1) = 0 e :
Vamos resolver a equação (3):
Agora, substituímos na equação (1):
Com e , encontramos o ponto de interseção substituindo em :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta n = lang<= 2, -1, 2 rang<= que é perpendicular ao plano . A direção de uma reta perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano:
Então, a direção da reta é .

Passo 4

Com o ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor direção x = -1 + 2t y = 1 - t z = 0 + 2t , podemos montar as equações paramétricas da reta .
As equações paramétricas têm a forma:
Onde é o ponto da reta e é o vetor direção.
Aplicando os valores:

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações simétricas da reta x = -1 + 2t implies t = x + 12 . As equações simétricas são obtidas isolando o parâmetro y = 1 - t implies t = 1 - y em cada equação paramétrica e igualando-os.
Das equações paramétricas:
z = 2t implies t = z2
x + 12 = 1 - y = z2
x + 12 = 1 - y = z2
Igualando os parâmetros:
Então, as equações simétricas são:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = -1 + 2t y = 1 - t z = 2t são:
x + 12 = 1 - y = z2
E as equações simétricas da reta são:

Exercícios relacionados