Para cada par de retas e abaixo, encontre , e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas: e .
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado nos apresenta duas retas, e , cada uma definida pela interseção de duas equações de planos no espaço tridimensional. Nosso objetivo é encontrar o ponto onde essas duas retas se cruzam. Caso não haja esse ponto, precisamos decidir se elas são paralelas ou reversas. Para resolver isso, vamos usar álgebra para resolver sistemas de equações e analisar as direções das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que definem cada reta:
Para a reta temos:
E para a reta temos:
Vamos resolver cada sistema de equações para obter uma representação paramétrica de cada reta, ou seja, expressar as coordenadas , e em termos de um parâmetro.
Passo 3
Vamos resolver o sistema da reta primeiro:
Vamos isolar uma variável em uma das equações. Da equação (1), podemos isolar :
Agora, substituímos da equação (3) na equação (2):
Simplificando:
Agora temos:
Resolvendo a equação (4) para :
Substituindo na equação para :
Então, a reta pode ser parametrizada assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema da reta :
Vamos somar as equações (5) e (6) para eliminar :
Isolando :
Substituindo na equação (5):
Então, a reta pode ser parametrizada assim:
Passo 5
Agora que temos as parametrizações das retas e :
Para :
Para :
Para encontrar a interseção, precisamos encontrar valores de e que satisfazem as três equações simultaneamente:
Vamos resolver a equação (9):
Substituindo na equação (8):
Isso é impossível! Portanto, não existem valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente. As retas e não se cruzam.
Passo 6
Como as retas e não têm um ponto de interseção comum, vamos verificar se elas são paralelas ou reversas. Para isso, analisamos os vetores diretores de cada reta.
Para , o vetor diretor é .
Para , o vetor diretor é .
Se os vetores diretores forem múltiplos uns dos outros, as retas são paralelas. Vamos verificar:
ãé
Como uma das razões não é definida, os vetores não são múltiplos. Portanto, as retas não são paralelas. Como não são paralelas e não se cruzam, elas são reversas.