Resolver o sistema abaixo usando dois métodos - o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan.
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos da álgebra linear: o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos manipular as equações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Método de Escalonamento
Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Vamos começar a escalonar a matriz para deixá-la em forma triangular. O objetivo é eliminar os números abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Para isso:
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraia a primeira linha da terceira linha.
Passo 4
Após essas operações, a matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o na terceira linha usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por e somamos à terceira linha.
Passo 6
Depois dessa operação, a matriz fica:
Passo 7
Agora temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:
Passo 8
Substituindo na segunda equação:
Passo 9
Finalmente, substituindo e na primeira equação:
Passo 10
Método de Eliminação de Gauss-Jordan
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan, que transforma a matriz aumentada em uma forma reduzida para facilitar a obtenção das soluções diretamente.
Começamos com a matriz aumentada:
Passo 11
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 (já está) e eliminar os elementos abaixo dele:
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraia a primeira linha da terceira linha.
Passo 12
A matriz resultante é:
Passo 13
Agora, vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :
Passo 14
Em seguida, eliminamos o da terceira linha usando a segunda linha. Adicionamos 7 vezes a segunda linha à terceira linha:
Passo 15
Agora, tornamos o terceiro elemento da terceira linha igual a 1, multiplicando a terceira linha por :
Passo 16
Com a matriz na forma reduzida, podemos ler diretamente as soluções: