Resolver o sistema abaixo usando dois métodos - o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan.
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos da álgebra linear: o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos manipular as equações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Método de Escalonamento
Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Agora temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:
-13 z = 103 implies z = -10
Passo 8
Substituindo -3 y - 2 (-10) = 2 implies -3 y + 20 = 2 implies -3 y = -18 implies y = 6 na segunda equação:
Passo 9
Finalmente, substituindo x + 4(6) + 3(-10) = 1 implies x + 24 - 30 = 1 implies x - 6 = 1 implies x = 7 e na primeira equação:
Passo 10
Método de Eliminação de Gauss-Jordan
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan, que transforma a matriz aumentada em uma forma reduzida para facilitar a obtenção das soluções diretamente.
Agora, vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 4 & 3 & | & 1 0 & 1 & 23 & | & -23 0 & -7 & -5 & | & 4 :
Passo 14
Em seguida, eliminamos o 1 & 4 & 3 & | & 1 0 & 1 & 23 & | & -23 0 & 0 & -13 & | & 103 da terceira linha usando a segunda linha. Adicionamos 7 vezes a segunda linha à terceira linha:
Passo 15
Agora, tornamos o terceiro elemento da terceira linha igual a 1, multiplicando a terceira linha por 1 & 4 & 3 & | & 1 0 & 1 & 23 & | & -23 0 & 0 & 1 & | & -10 :
Passo 16
Com a matriz na forma reduzida, podemos ler diretamente as soluções:
z = -10
Substituindo y + 23 (-10) = -23 implies y - 203 = -23 implies y = 6 na segunda linha:
x + 4(6) + 3(-10) = 1 implies x + 24 - 30 = 1 implies x - 6 = 1 implies x = 7