Resolver o sistema abaixo usando dois métodos - o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan.
l x+4 y+3 z=1 2 x+5 y+4 z=4 x-3 y-2 z=5

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos da álgebra linear: o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos manipular as equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Método de Escalonamento

Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 4 & 3 & | & 1 2 & 5 & 4 & | & 4 1 & -3 & -2 & | & 5

Passo 3

Vamos começar a escalonar a matriz para deixá-la em forma triangular. O objetivo é eliminar os números abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Para isso:
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha.

Passo 4

Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & 4 & 3 & | & 1 0 & -3 & -2 & | & 2 0 & -7 & -5 & | & 4

Passo 5

Agora, vamos eliminar o na terceira linha usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por e somamos à terceira linha.

Passo 6

Depois dessa operação, a matriz fica:
1 & 4 & 3 & | & 1 0 & -3 & -2 & | & 2 0 & 0 & -13 & | & 103

Passo 7

Agora temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:
-13 z = 103 implies z = -10

Passo 8

Substituindo -3 y - 2 (-10) = 2 implies -3 y + 20 = 2 implies -3 y = -18 implies y = 6 na segunda equação:

Passo 9

Finalmente, substituindo x + 4(6) + 3(-10) = 1 implies x + 24 - 30 = 1 implies x - 6 = 1 implies x = 7 e na primeira equação:

Passo 10

Método de Eliminação de Gauss-Jordan

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan, que transforma a matriz aumentada em uma forma reduzida para facilitar a obtenção das soluções diretamente.
Começamos com a matriz aumentada:
1 & 4 & 3 & | & 1 2 & 5 & 4 & | & 4 1 & -3 & -2 & | & 5

Passo 11

Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 (já está) e eliminar os elementos abaixo dele:
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha.

Passo 12

A matriz resultante é:
1 & 4 & 3 & | & 1 0 & -3 & -2 & | & 2 0 & -7 & -5 & | & 4

Passo 13

Agora, vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 4 & 3 & | & 1 0 & 1 & 23 & | & -23 0 & -7 & -5 & | & 4 :

Passo 14

Em seguida, eliminamos o 1 & 4 & 3 & | & 1 0 & 1 & 23 & | & -23 0 & 0 & -13 & | & 103 da terceira linha usando a segunda linha. Adicionamos 7 vezes a segunda linha à terceira linha:

Passo 15

Agora, tornamos o terceiro elemento da terceira linha igual a 1, multiplicando a terceira linha por 1 & 4 & 3 & | & 1 0 & 1 & 23 & | & -23 0 & 0 & 1 & | & -10 :

Passo 16

Com a matriz na forma reduzida, podemos ler diretamente as soluções:
z = -10
Substituindo y + 23 (-10) = -23 implies y - 203 = -23 implies y = 6 na segunda linha:
x + 4(6) + 3(-10) = 1 implies x + 24 - 30 = 1 implies x - 6 = 1 implies x = 7
Substituindo e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema ��:
x = 7, y = 6, z = -10

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