Resolver o sistema abaixo usando dois métodos - o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos da álgebra linear: o Método de Escalonamento e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos manipular as equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Método de Escalonamento

Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Vamos começar a escalonar a matriz para deixá-la em forma triangular. O objetivo é eliminar os números abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Para isso:
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha.

Passo 4

Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o na terceira linha usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por e somamos à terceira linha.

Passo 6

Depois dessa operação, a matriz fica:

Passo 7

Agora temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira equação:

Passo 8

Substituindo na segunda equação:

Passo 9

Finalmente, substituindo e na primeira equação:

Passo 10

Método de Eliminação de Gauss-Jordan

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan, que transforma a matriz aumentada em uma forma reduzida para facilitar a obtenção das soluções diretamente.
Começamos com a matriz aumentada:

Passo 11

Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 (já está) e eliminar os elementos abaixo dele:
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha.

Passo 12

A matriz resultante é:

Passo 13

Agora, vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :

Passo 14

Em seguida, eliminamos o da terceira linha usando a segunda linha. Adicionamos 7 vezes a segunda linha à terceira linha:

Passo 15

Agora, tornamos o terceiro elemento da terceira linha igual a 1, multiplicando a terceira linha por :

Passo 16

Com a matriz na forma reduzida, podemos ler diretamente as soluções:
Substituindo na segunda linha:
Substituindo e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema ��:

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Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta :
A reta é perpendicular ao plano e passa pelo ponto de interseção das retas e dadas por
Para cada par de retas e abaixo, encontre , e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas:
e .
Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares (utilizando qualquer método):
Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de escalonamento de Gauss