Considere os planos alpha: x-y+z-3=0 e
beta: 2 m^2 x-(m+1) y+2 z=0.
Para m=-1, encontre a equação da reta interseção entre alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas equações de planos no espaço e pede para encontrar a equação da reta onde esses dois planos se cruzam, ou seja, a interseção entre eles. Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Primeiro, vamos substituir o valor de na equação do plano para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos substituir beta: 2m^2 x - (m + 1) y + 2 z = 0 na equação do plano 2(-1)^2 x - (-1 + 1) y + 2 z = 0 2(1) x - (0) y + 2 z = 0 2x + 2z = 0 :
x + z = 0 ou z = -x
Substituindo alpha: x - y + z - 3 = 0 beta: x + z = 0 :
Simplificando a equação:
Agora temos as equações dos dois planos:

Passo 3

Para encontrar a reta de interseção entre os planos x - y + (-x) - 3 = 0 x - y -x - 3 = 0 -y - 3 = 0 -y = 3 y = -3 e , precisamos resolver o sistema formado por essas duas equações. Vamos expressar uma variável em termos das outras para facilitar. Da equação : . Vamos substituir esse valor de na equação :
Então, temos e .

Passo 4

Agora, para expressar a reta em termos paramétricos, podemos escolher x = t y = -3 z = -t como parâmetro x = t y = -3 z = -t . Assim:
Portanto, a equação paramétrica da reta de interseção é:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação da reta de interseção entre os planos x = t y = -3 z = -t e é dada pelos parâmetros:
onde é um número real.

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