Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta r :
A reta r tem vetor diretor v=(1,1,-1) e passa pelo ponto P0=(0,1,7).

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma reta que passa pelo ponto e tem o vetor diretor . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas e as equações simétricas dessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t , x = 0 + 1 cdot t y = 1 + 1 cdot t z = 7 + (-1) cdot t e x = t y = 1 + t z = 7 - t em termos de um parâmetro .
Sabemos que:
Onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos montar as equações simétricas da reta. Essas equações relacionam as coordenadas x - x0a = y - y0b = z - z0c , x - 01 = y - 11 = z - 7-1 e x1 = y - 11 = z - 7-1 de maneira que todas sejam expressas em função do mesmo parâmetro.
A forma geral das equações simétricas é:
x = y - 1 = 7 - z1
Usando os valores que temos:
Simplificando:
Ou ainda:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = t y = 1 + t z = 7 - t são:
x1 = y - 11 = 7 - z1
E as equações simétricas da reta são:

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