Considere
definida por
. Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função inversa
, usando o Teorema da Função Inversa. O conteúdo aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções inversas. Vamos precisar lembrar como aplicar esse teorema e usar a derivada da função original
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Basicamente, se você tem uma função
que é diferenciável e inversível, a derivada da função inversa
em um ponto
pode ser encontrada usando a fórmula:
Isso significa que para achar a derivada da inversa, a gente precisa primeiro achar a derivada da função original
e depois fazer alguns substituições.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Agora, precisamos avaliar essa derivada no ponto
. Sabemos que
, então substituímos:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Função Inversa:
Portanto, a derivada da função inversa
é:
Resposta
A derivada da função inversa
é
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Determine dois números positivos
e
com produto
e cuja soma seja a menor possível.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
Calcule os limites da forma:
Calcule a integral: