Considere f: (0, infinito) -> (0, infinito) definida por f(x) = x^2. Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função f^-1(x) = raiz(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função inversa , usando o Teorema da Função Inversa. O conteúdo aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções inversas. Vamos precisar lembrar como aplicar esse teorema e usar a derivada da função original .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Basicamente, se você tem uma função que é diferenciável e inversível, a derivada da função inversa em um ponto pode ser encontrada usando a fórmula:
Isso significa que para achar a derivada da inversa, a gente precisa primeiro achar a derivada da função original e depois fazer alguns substituições.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função. Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Agora, precisamos avaliar essa derivada no ponto . Sabemos que , então substituímos:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Função Inversa:
Portanto, a derivada da função inversa é:

Resposta

A derivada da função inversa é

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Determine dois números positivos x e y com produto p e cuja soma seja a menor possível.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que
f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
f(x) = x^(2/3), com a = 0 e b = 1
Calcule os limites da forma: 00 e inftyinfty lim x +infty 1-x-e^-x2 x^3
Calcule a integral: integral0^1 integralraizy^1(1x^3+1) d x d y