Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
, com
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar um valor
entre
e
que satisfaça a equação:
Isso é uma aplicação do Teorema do Valor Médio, que basicamente nos diz que em algum ponto entre
e
, a derivada da função iguala à média da taxa de variação da função nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
e a média
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a média da taxa de variação da função entre
e
:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada de
. A função é
, que podemos reescrever como
. Usando a regra do poder:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
tal que:
Substituindo a expressão da derivada:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
:
Racionalizando o denominador:
Passo 8
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 9
Finalmente, isolando
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição ��: