Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que
f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
f(x) = raiz(x + 1), com a = 1 e b = 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar um valor entre e que satisfaça a equação:
Isso é uma aplicação do Teorema do Valor Médio, que basicamente nos diz que em algum ponto entre e , a derivada da função iguala à média da taxa de variação da função nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e a média .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a média da taxa de variação da função entre e :

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de . A função é , que podemos reescrever como . Usando a regra do poder:

Passo 5

Agora, queremos encontrar tal que:
Substituindo a expressão da derivada:

Passo 6

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 7

Isolando :
Racionalizando o denominador:

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 9

Finalmente, isolando :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição ��:

Exercícios relacionados

Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo. y = (x - K)^(3) + 2b, K > 0
Reescreva a integral integral0^1 integral-1^1 integral0^y^2 x y d z d y d x como uma integral iterada equivalente, nas cinco outras ordens.
Obtenha a equação da reta tangente à curva y = (e^x + e^-x) / 2 no ponto de abscissa x0 = -2.
Encontre os angulos internos do triangulo cujos vértices são A(-1,0),
B(2,1) e C(1,-2).