Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo. y = (x - K)^(3) + 2b, K > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função onde , e precisamos descobrir em quais intervalos essa curva está “sorrindo” pra cima (concavidade para cima) ou “curvando” pra baixo (concavidade para baixo). Pra isso, vamos usar o conceito de derivadas, mais especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da curva em cada ponto. A derivada de é:
Aqui, usamos a regra do poder, onde trazemos o expoente para a frente e reduzimos o expoente em 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da curva. Derivando novamente , temos:
Mais uma vez, aplicamos a regra do poder.

Passo 4

Para saber onde a concavidade está para cima ou para baixo, vamos analisar o sinal da segunda derivada :
  • Concavidade para cima: Quando
  • Concavidade para baixo: Quando

Resposta

A curva tem concavidade voltada para baixo no intervalo e concavidade voltada para cima no intervalo .

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