Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
onde
, e precisamos descobrir em quais intervalos essa curva está “sorrindo” pra cima (concavidade para cima) ou “curvando” pra baixo (concavidade para baixo). Pra isso, vamos usar o conceito de derivadas, mais especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da curva em cada ponto. A derivada de
é:
Aqui, usamos a regra do poder, onde trazemos o expoente para a frente e reduzimos o expoente em 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da curva. Derivando novamente
, temos:
Mais uma vez, aplicamos a regra do poder.
Passo 4
Para saber onde a concavidade está para cima ou para baixo, vamos analisar o sinal da segunda derivada
:
-
Concavidade para cima: Quando
-
Concavidade para baixo: Quando
Resposta
A curva tem concavidade voltada para baixo no intervalo
e concavidade voltada para cima no intervalo
.
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como uma integral iterada equivalente, nas cinco outras ordens.
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tal que
Obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.