Obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde a abscissa é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir as coordenadas do ponto na curva onde
. Isso significa que precisamos calcular
.
A função é:
Substituindo
:
Então, o ponto na curva é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função
em relação a
, que nos dá a taxa de variação de
em relação a
, ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Então, a derivada é:
Agora, substituímos
para encontrar a inclinação no ponto:
Passo 4
Com a coordenada do ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
-
é a inclinação da reta -
é o ponto na reta
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: