Obtenha a equação da reta tangente à curva y = (e^x + e^-x) / 2 no ponto de abscissa x0 = -2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir as coordenadas do ponto na curva onde . Isso significa que precisamos calcular .
A função é:
Substituindo :
Então, o ponto na curva é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função em relação a , que nos dá a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Então, a derivada é:
Agora, substituímos para encontrar a inclinação no ponto:

Passo 4

Com a coordenada do ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
  • é a inclinação da reta
  • é o ponto na reta
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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