Obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde a abscissa é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir as coordenadas do ponto na curva onde
. Isso significa que precisamos calcular
.
A função é:
Substituindo
:
Então, o ponto na curva é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função
em relação a
, que nos dá a taxa de variação de
em relação a
, ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Então, a derivada é:
Agora, substituímos
para encontrar a inclinação no ponto:
Passo 4
Com a coordenada do ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
-
é a inclinação da reta -
é o ponto na reta
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
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Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Encontre os angulos internos do triangulo cujos vértices são
,
e
.
Calcule os limites da forma: