Reescreva a integral integral0^1 integral-1^1 integral0^y^2 x y d z d y d x como uma integral iterada equivalente, nas cinco outras ordens.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que é integral0^1 integral-1^1 integral0^y^2 x y , dz , dy , dx. Isso significa que estamos integrando a função xy em uma região no espaço definida pelos limites de integração para z, y e x. Vamos usar cálculo multivariável, mais especificamente integração tripla, para reescrever essa integral em outras cinco ordens possíveis. Para isso, precisamos entender bem a região de integração e ajustar os limites para cada nova ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos:
  • x varia de 0 a 1,
  • y varia de -1 a 1,
  • z varia de 0 a y^2.
Isso significa que, para cada valor de x entre 0 e 1, y vai de -1 a 1, e para cada par (x, y), z vai de 0 até y^2. Agora, vamos encontrar os limites de integração para as outras ordens.

Passo 3

Vamos começar alterando a ordem para dy , dz , dx. Para isso, precisamos determinar os limites de y em função de z e x, depois de z em função de x, e finalmente de x.
Sabemos que z varia de 0 a y^2, então y varia de -raizz a raizz. E z varia de 0 a 1 (porque y vai até 1, então y^2 também vai até 1). E x ainda varia de 0 a 1. Então a integral fica:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^raizz x y , dy , dz , dx

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem para dy , dx , dz. Aqui, precisamos ver como y varia em função de x e z, depois x em função de z, e z vai de 0 a 1.
Sabemos que x vai de 0 a 1 e y vai de -1 a 1, mas com z <= y^2, ou seja, y >= raizz ou y <= -raizz. Portanto, a integral fica dividida em duas partes:
integral0^1 integral0^1 integralraizz^1 x y , dy , dx , dz + integral0^1 integral0^1 integral-1^-raizz x y , dy , dx , dz

Passo 5

Vamos para a ordem dz , dx , dy. Aqui, o z varia de 0 a y^2, x varia de 0 a 1, e y de -1 a 1. Então a integral fica:
integral-1^1 integral0^1 integral0^y^2 x y , dz , dx , dy

Passo 6

Agora, mudando para a ordem dx , dz , dy. Primeiro, x varia de 0 a 1, z de 0 a y^2, e y de -1 a 1. Assim, a integral fica:
integral-1^1 integral0^y^2 integral0^1 x y , dx , dz , dy

Passo 7

Por último, vamos para a ordem dx , dy , dz. Aqui, para cada z, y varia de -raizz a raizz, e x vai de 0 a 1. A integral fica:
integral0^1 integral-raizz^raizz integral0^1 x y , dx , dy , dz

Resposta

As cinco integrais iteradas equivalentes são:
  1. Ordem dy , dz , dx:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^raizz x y , dy , dz , dx
  1. Ordem dy , dx , dz:
integral0^1 ( integral0^1 integralraizz^1 x y , dy , dx + integral0^1 integral-1^-raizz x y , dy , dx ) dz
  1. Ordem dz , dx , dy:
integral-1^1 integral0^1 integral0^y^2 x y , dz , dx , dy
  1. Ordem dx , dz , dy:
integral-1^1 integral0^y^2 integral0^1 x y , dx , dz , dy
  1. Ordem dx , dy , dz:
integral0^1 integral-raizz^raizz integral0^1 x y , dx , dy , dz

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