Reescreva a integral
como uma integral iterada equivalente, nas cinco outras ordens.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que é
. Isso significa que estamos integrando a função
em uma região no espaço definida pelos limites de integração para
,
e
. Vamos usar cálculo multivariável, mais especificamente integração tripla, para reescrever essa integral em outras cinco ordens possíveis. Para isso, precisamos entender bem a região de integração e ajustar os limites para cada nova ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos:
-
varia de a , -
varia de a , -
varia de a .
Isso significa que, para cada valor de
entre
e
,
vai de
a
, e para cada par
,
vai de
até
. Agora, vamos encontrar os limites de integração para as outras ordens.
Passo 3
Vamos começar alterando a ordem para
. Para isso, precisamos determinar os limites de
em função de
e
, depois de
em função de
, e finalmente de
.
Sabemos que
varia de
a
, então
varia de
a
. E
varia de
a
(porque
vai até
, então
também vai até
). E
ainda varia de
a
. Então a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem para
. Aqui, precisamos ver como
varia em função de
e
, depois
em função de
, e
vai de
a
.
Sabemos que
vai de
a
e
vai de
a
, mas com
, ou seja,
ou
. Portanto, a integral fica dividida em duas partes:
Passo 5
Vamos para a ordem
. Aqui, o
varia de
a
,
varia de
a
, e
de
a
. Então a integral fica:
Passo 6
Agora, mudando para a ordem
. Primeiro,
varia de
a
,
de
a
, e
de
a
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Por último, vamos para a ordem
. Aqui, para cada
,
varia de
a
, e
vai de
a
. A integral fica:
Resposta
As cinco integrais iteradas equivalentes são:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
: