Reescreva a integral
como uma integral iterada equivalente, nas cinco outras ordens.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que é
. Isso significa que estamos integrando a função
em uma região no espaço definida pelos limites de integração para
,
e
. Vamos usar cálculo multivariável, mais especificamente integração tripla, para reescrever essa integral em outras cinco ordens possíveis. Para isso, precisamos entender bem a região de integração e ajustar os limites para cada nova ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos:
-
varia de a , -
varia de a , -
varia de a .
Isso significa que, para cada valor de
entre
e
,
vai de
a
, e para cada par
,
vai de
até
. Agora, vamos encontrar os limites de integração para as outras ordens.
Passo 3
Vamos começar alterando a ordem para
. Para isso, precisamos determinar os limites de
em função de
e
, depois de
em função de
, e finalmente de
.
Sabemos que
varia de
a
, então
varia de
a
. E
varia de
a
(porque
vai até
, então
também vai até
). E
ainda varia de
a
. Então a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem para
. Aqui, precisamos ver como
varia em função de
e
, depois
em função de
, e
vai de
a
.
Sabemos que
vai de
a
e
vai de
a
, mas com
, ou seja,
ou
. Portanto, a integral fica dividida em duas partes:
Passo 5
Vamos para a ordem
. Aqui, o
varia de
a
,
varia de
a
, e
de
a
. Então a integral fica:
Passo 6
Agora, mudando para a ordem
. Primeiro,
varia de
a
,
de
a
, e
de
a
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Por último, vamos para a ordem
. Aqui, para cada
,
varia de
a
, e
vai de
a
. A integral fica:
Resposta
As cinco integrais iteradas equivalentes são:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
Exercícios relacionados
Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos.
Calcule a integral:
. (Sugestão: Coordenadas Polares).
Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que