Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a): f(x) = x^(2/3), com a = 0 e b = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um valor entre e tal que a derivada de nesse ponto seja igual à razão entre e dividida por . Isso está relacionado ao Teorema do Valor Médio, que garante a existência de tal ponto se a função for contínua e diferenciável no intervalo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a razão . Nossa função é , então:
Então, queremos que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de . A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Queremos encontrar tal que . Então:
Vamos resolver para :

Resposta

O valor de é .

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